Задачи по стереометрии, ч. 3

№ 1. Шар объёмом 6 метров кубических вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра (в метрах кубических).

 

 

V шара = (4/3)пR3 =6            -->   R3 =6*3/(4п) = 4,5/п

Vцил = пR2= пR2*2R= 2пR3 = 2п* 4,5/п = 9 (м3)             Ответ: 9.

Замечание. Высота цилиндра, в который вписан шар, равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

 

 

№ 2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно А, тогда V1=A·A·A, a  V2=(A+1)(A+1)(A+1)=(A+1)3 = A3+3A2+3+1.

Уравнение:  V2–V1=19,     (A3+3A2+3A+1) – A3 = 19,   3A2+3A-18=0,  A2+A-6=0,    A1=2, A2=-3 - не подходит.

Ответ:   А=2

Чтобы решить, надо знать ф-лу  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3


№ 3В цилиндрический сосуд налили 200 cм3  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкодсти в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Выразить ответ в см3.

Найдем площадь основания цилиндра.  S=200/12=50/3. Если уровень воды поднялся на 9см, то объем, занимемый водой и деталью увеличиля на S*9=50/3*9=150 см куб.

 

№ 4. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40, и 45 см стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? (ответ дайте в см).

V=30*40*36       V= 40*45*h

30*40*36 = 40*45*h    -->   h=30*36/45 = 24

 

№ 5. Площадь основания конуса равна 1 квадратному метру. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его на две равновеликие части. Найти площадь сечения конуса. 

Радиус основания конуса  равен R. Sосн=пR2=1 .  Сечение конуса - круг радиуса r.

V -объем всего конуса,   v1 - объем отсеченной верхней части.

V / v1 = 2, а объемы относятся как кубы соответствующих линейных размеров. п ≈3.14

V / v1 = (R / r)=2,    R=2 r3 ,  пR2 *R = п*2r3,  r3 =R/(2п),   r = корень куб(R/(2п))

S cечения = пr2 = п*корень куб(R2/(4п2)) = корень куб( пR2 /4) = корень куб (1/4)


Лекция добавлена 10.07.2012 в 10:10:39