Задачи по стереометрии, ч. 2

№ 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамида равна 4 см. плоский угол при вершине пирамиды равен 60 градусов. найти: а) объем пирамиды; б) угол, который образует боковая грань с плоскостью основания.

SO = H - высота пирамиды, проведем OM перпендикулярно АВ. Тогда SM перпендикуляр к АВ (по теор. о 3-х перпендикулярах).

 

По условию АВ=4, угол ASB=60º, тогда угол ASM = 30º.

В 3-ке ASM:  SM = AM ctg 30º = 2√3.   В 3-ке SOM:  SO2 = SM2– OM2 =(2√3)2–22 = 12 – 4 =8.  SO = √8 = 2√2

а) V = Sосн·H/3 = 4·4·2√2/3 = 32√2 / 3.

б)   угол1 =уголSMO. Из 3-ка SOM:  OM / SM = cos (угла SMO) = 2/(2√3) = 1/√3.

угол SMO = arccos(1/√3)

или   SO / MO = tg угла SMO = 2√2 / 2 = √2    -->  угол SMO = arctg √2.

 

 

№ 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

В основании параллелепипеда - квадрат. Его стороны равны диаметру основания цилиндра, т.е.  а=d=2.

V= Sосн·H = a2· H = 22·1=4.             Ответ: 4.

 

 

 


№ 3. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объем.

 

Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы, то он - куб. Его ребра равны диаметру сферы, т.е. a = 7,5·2=15.

V= a3 =153 = 3375.

 

 

 

№ 4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 27

Vцилиндра=Sосн H,

Vконуса=Sосн H/3 =27.

Видим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра, значит Vцилиндра=Vконуса*3 = 27*3 =81.

№ 5. В правильной 4х угольной пирамиде угол между высотой и боковым ребром равен 45 градусов. Найти плоский угол при вершине.

 

Угол OSB и угол OBS равны 45°, тогда BO=SO=x.

В  прямоугольном 3-ке AOB:  BO=OA=x. 3-к SOB = 3-ку AOB по двум катетам --> SB=BA и SB=SA.

3-к ABS - равносторонний  -->  все углы в нем по 60°.

Ответ:  угол AOB=60°


Лекция добавлена 10.07.2012 в 10:06:57