Задачи по стереометрии
№ 1. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 24 см.Она наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.Вычислить объём призмы.
Vпризмы = Sосн · H = 3a2 √3 /2 ·H, где a - сторона основания, она же равна радиусу описанной окружности r=OB/2.
Дано: AB=24см, угол ABO = 60º, тогда угол OAB=30º, OB=AB/2=12 (свойство катета, лежащего против угла в 30º), значит, r=OB/2=6, но тогда a=r=6см (т.к. в основании - правильный 6-тиугольник).
AO2=AB2 - OB2 = 242 - 122=(24-12)(24+12)=12·36 --> H=AO=√(12·36) = 12√3.
Vпризмы = 3·62 √3 /2 · 12√3 = 3·36·3·12/2 = 1944 (кв.см)
Ответ: 1944.
№ 2. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный трегольник, площадь которога равна 9 м^2. найдите объем конуса
По условию угол В=90º, АВ=ВС. SABC=AB·BC/2=9. Пусть AB=x, тогда SABC = х2/2 = 9 --> x2=18. По теореме Пифагора: AC2=AB2+BC2 AC2=x2+x2=18+18=36 --> AC=6. r=AO=AC/2=3. H=BO=√(AB2-AO2) = √(18–9)=3.
Vконуса = π·r2 H/3 = π·32·3/3 = 9π. Ответ: 9π, где п≈3.14
№ 3. Длина образующей конуса равна L, а длина окружности основания равна с. найдите объем конуса.
Рисунок тот же.
По условию BC=L, 2пr=c, п≈3.14. OC=r=c / (2п).
Из 3-ка BOC по теореме Пифагора: H=BO=√(BC2-OC2) = √(L2-r2). Vконуса= пr2 H/3.
В последнюю формулу подставьте значения r и H. Получите ответ.
№ 4. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
Высота конуса h = 18 см, радиус основания r= 24/2=12 см.
Найдем объем конуса, а значит, объем воды. V=пr2 h /3 = п · 122·18/3 = 864п (см3).
Объём цилиндра равен пR2H = 864п. Диаметр цилиндра равен 10см, значит R=5см.
п·52H = 864п --> H= 864/25=34,56 (см) = 0,3456 (м).
Ответ: 0,3456 м.
№ 5. В основании прямой призмы -ромб с диагоналями 12 и 16 см. Плоскость сечения, проходящего через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований составляет с основанием угол 45 градусов.Найти объём призмы и можно ли эту призму вписать в цилиндр?
1. Половинки диагоналей ВО=8, СО=6. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. ВС из 3-ка ВОС по теореме Пифагора равна 10 см.
Проведем АМ перпендикулярно ВС.
Sромба=BD· AC / 2 = 12 · 16 /2 = 96. С другой стороны Sосн = BC· AM= 96. Тогда АМ=96/ВС = 9,6.
2. А1D1CB - заданное сечение. Соединим точки А1 и М. А1М - наклонная, АМ - её проекция, причем, АМ перпендикуляр к ВС, тогда по теореме о 3-х перпендикулярах А1М перпендикуляр к ВС. Значит, угол А1МА равен 45°, как угол между сечением и основанием призмы.
3. В 3-ке А1АМ угол М = 45º, угол А равен 90º, угол А1 = 180 - 45 - 90 =45º. 3-к А1АМ - равнобедренный, значит, АА1 = АМ= 9,6.
4. Vпризмы = Sромба · АА1 = 96·9,6 = 921,6(см3)
Ответ: 921,6
Лекция добавлена 10.07.2012 в 10:00:49