Задачи по стереометрии

№ 1. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 24 см.Она наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.Вычислить объём призмы.

Vпризмы = Sосн · H = 3a√3 /2 ·H,   где a - сторона основания, она же равна радиусу описанной окружности r=OB/2.

Дано: AB=24см,  угол ABO = 60º, тогда угол OAB=30º,    OB=AB/2=12 (свойство катета, лежащего против угла в 30º),  значит, r=OB/2=6, но тогда a=r=6см (т.к. в основании - правильный 6-тиугольник).

AO2=AB2 - OB2 = 242 - 122=(24-12)(24+12)=12·36   -->  H=AO=√(12·36) = 12√3.

Vпризмы = 3·62 √3 /2 · 12√3 = 3·36·3·12/2 = 1944 (кв.см)

Ответ: 1944.

 

№ 2. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный трегольник, площадь которога равна 9 м^2. найдите объем конуса

По условию угол В=90º, АВ=ВС. SABC=AB·BC/2=9.  Пусть AB=x, тогда SABC = х2/2 = 9   -->  x2=18.  По теореме Пифагора:  AC2=AB2+BC2   AC2=x2+x2=18+18=36   --> AC=6.    r=AO=AC/2=3.     H=BO=√(AB2-AO2) = √(18–9)=3.

Vконуса = π·r2 H/3 = π·32·3/3 = 9π.            Ответ:   9π,  где п≈3.14

 

 

№ 3. Длина образующей конуса равна L, а длина окружности основания равна с. найдите объем конуса.

Рисунок тот же.

По условию BC=L2пr=c, п≈3.14.   OC=r=c / (2п). 

Из 3-ка  BOC по теореме Пифагора:   H=BO=√(BC2-OC2) = √(L2-r2).     Vконуса= пrH/3.

В последнюю формулу подставьте значения r и H. Получите ответ.

 

№ 4. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?

Высота конуса h = 18 см, радиус основания r= 24/2=12 см.

Найдем объем конуса, а значит, объем воды. V=пr2 h /3 = п · 122·18/3 = 864п  (см3).

Объём цилиндра  равен пR2H = 864п.   Диаметр цилиндра равен 10см, значит R=5см.

п·52H = 864п  -->  H= 864/25=34,56 (см) = 0,3456 (м).          

Ответ:  0,3456 м.

 

№ 5. В основании прямой призмы -ромб с диагоналями 12 и 16 см. Плоскость сечения, проходящего через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований составляет с основанием угол 45 градусов.Найти объём призмы и можно ли эту призму вписать в цилиндр?

1. Половинки диагоналей ВО=8, СО=6. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. ВС из 3-ка ВОС по теореме Пифагора равна 10 см.

Проведем АМ перпендикулярно ВС.

Sромба=BD· AC / 2 = 12 · 16 /2 = 96. С другой стороны Sосн = BC· AM= 96.  Тогда АМ=96/ВС = 9,6.

2. А1D1CB - заданное сечение. Соединим точки А1 и М.  А1М - наклонная, АМ - её проекция, причем, АМ перпендикуляр к ВС, тогда по теореме о 3-х перпендикулярах А1М перпендикуляр к ВС. Значит, угол А1МА равен 45°, как угол между сечением и основанием призмы.

3. В 3-ке А1АМ угол М = 45º, угол А равен 90º, угол А1 = 180 - 45 - 90 =45º. 3-к А1АМ - равнобедренный, значит, АА1 = АМ= 9,6.

4. Vпризмы = Sромба · АА1 = 96·9,6 = 921,6(см3)

Ответ: 921,6


Лекция добавлена 10.07.2012 в 10:00:49