В10. Линзы

№ 1: Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=20см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана - в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/d1 + 1/d2 = 1/f. Укажите, на каком наименьшим расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её ихображение на экране было чётким. Ответ выразите в см.

Из формулы 1/d1 + 1/d2 = 1/f выразим d1.  
1/d1 = 1/f – 1/d2. Приведя к общему знаменателю, получим:  1/d1 = (d2 – f) / (d2∙f), тогда   

d1 = d2∙f / (d2 – f),   d1 = d2∙20 / (d2 – 20).

Рассмотрим функцию  d1(d2) = 20∙d2 / (d2 – 20) на промежутке [100;120], т.к. d2 є [100;120].
Найдем наименьшее значение функции на указанном промежутке.
Вычислим производную d1 по формуле производной от частного.
d1' = (20(d2 – 20) - 20∙d2) / (d2 – 20)2) = - 400 /(d2 – 20)2. 
Очевидно, что производная в 0 не обращается, следовательно, функция d1(d2)критических точек не имеет. Будем искать её наименьшее значение на концах промежутка [100;120].
d1(100) = 20∙100 / (100 – 20) = 2000 / 80 = 25,
d1(120) = 20∙120 / (120 – 20) = 2400 / 100 = 24.
Т.о. наименьшее значение d1 равно 24 см.
Ответ: 24.


Лекция добавлена 10.07.2012 в 08:16:47