Метод математической индукции

Метод математической индукции

 Для того, чтобы разобраться - что такое математическая индукция, разберем понятия индукция и дедукция. Индукция – это переход от частного к общему, а дедукция - наоборот, т.е от общего к частному.

Принцип математической индукции

Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:
  1. Утверждение верно для n=1;

  2.  Из справедливости утверждения для n=(где k- любое натуральное число), вытекает справедливость утверждения и для следующего натурального числа: n=k+1.

Пример:



   Сначала, проверяем наше утверждение, верно ли оно будет при n=1. Подставляем; утверждение верно, 1=1. Следовательно, мы можем перейти ко 2 пункту.  Тогда пусть при n=(где k - любое натуральное число) утверждение верно. Подставляем в исходное утверждение вместо n, k.  Вводим переменную S1=1+2+3…+n;  Смотрим, что у нас получается при n=k+1 (работаем с правой частью), в левой у нас S1+(k+1).  В правую часть вместо k подставляем  k+1, получаем ((k+1)(k+2))/2. Раскрываем скобки, получаем: (k2+2k+k+2)/2. Можем заметить, что (k2+k)/2 - это S1. Остается (k+1). S1+(k+1)= S1+(k+1). Утверждение доказано.

  Задания для самостоятельного решения:

   1. 1+2+4+…+2n-1=2n-1

   2. 1+4+7+…+(3n-2)=(n(3n-1))/2

 

 В основном, в школе метод мат. индукции не нужен, но можно решить с помощью этого метода задание С6 из ЕГЭ (на теорию чисел).

  Пример:
 Доказать, что (n3+35n) кратно 6;

       При n=1; (1+35) кратно 6; 36 кратно 6, утверждение верно.

       Пусть n=k; (k3+35k) кратно 6

 n=k+1;

(k+1)3+35(k+1)=k3+3k2+3k+1+35k+35=(k3+35k)+3k2+3k+36=(k3+35k) - кратно 6 +3(k2+k+12), т.е чтобы все выражение было кратно 6, нужно, чтобы 3(k2+k+12) было кратно 6, 3 - оно уже кратно, значит (k2+k+12) должно быть кратно 2. Что такое (k2+k+12)? Это k(k+1)+12, а k(k+1) -  два идущих подряд числа, т.е среди этих двух чисел, есть 1 кратное 2, значит и их произведение кратно 2;  12 тоже кратно 2, значит и 3(k2+k+12) кратно 6, значит и (k+1)3+35(k+1) кратно 6. Доказано.

  Задания для самостоятельного решения:

  1. (7n-1) кратно 6

  2. (116n+3+1) кратно 148


Лекция добавлена 26.09.2011 в 19:12:30