Математика. Разбор ЕГЭ. Задание C2

Ну что же. С2 - это геометрия. Здесь нужно найти угол между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекция прямой на плоскость - это  прямая, образованная пересечением данной плоскости  и плоскости, перпендикулярной ей, такой, что в ней лежит наша прямая. Сказано сложно, но представьте это.
Объясню иначе:
мы проводим перпендикуляр на плоскость с точки на нашей прямой (точка А). На плоскости получается точка (точка О). Соединяем эту точку с точкой пересечения прямой с плоскостью (точка С) - это и есть проекция(СН).
АС  называют наклонной;
СН - проекция;
С - основание наклонной;
Н - основание перпендикуляра.

Как нам это поможет? Это нам и нужно. В задаче самое главное будет определение проекции, а потом нахождение угла с ней, ведь в данном рисунке угол АСН и есть угол между прямой a и плоскостью.

Так же нужно знать, что есть теорема о трех перпендикулярах(ТТП). Она гласит: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Обратная: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

Нужно пояснить, что если прямая будет в целом перпендикулярна СН, то будет ей параллельная прямая, проведенная через основание, и, тогда, будет выполняться ТТП.


Итак, задача С2

Как же это решать? Дорисуем кое что в чертеже - нам нужна проекция.


Здесь, проекцией на плоскость АВС1, будет AO. Давайте это докажем.
Дело в том, что треугольник АВ1С равносторонний. Так как наша фигура куб, а все составляющие этого треугольника есть диагонали граней куба. И, потому, они равны.
Точка пересечения диагоналей квадрата ВСС1В1 делит их пополам.То есть В1О равна половине В1С.

Тогда АО - медиана, а в равностороннем треугольнике медиана - это высота, значит B1C перпендикулярна АО и  перпендикулярна ВС1. Обе эти прямых лежат на плоскости АВС1, тогда по признаку перпендикулярности прямой к плоскости - В1О перпендикулярна плоскости АВС1.То есть - это перпендикуляр, тогда АО - проекция.
Угол между АВ1 и АО находится просто: примем сторону куба за а, тогда:

В1С  мы нашли по теореме Пифагора.
В1О  равно половине диагонали, так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Найдем синус угла. Из этого делаем вывод о величине угла и этот угол искомый, так как он угол между наклонной и проекцией.

Ответ: 30 градусов.

 


Лекция добавлена 22.08.2011 в 01:57:24