Математика. Разбор ЕГЭ. Задание C1.

Итак. Это решение С1 из ЕГЭ.
Оно довольно таки типовое - это система из двух уравнений. Нужно немного знать тригонометрию и понимать, что корень из числа всегда больше нуля и число под корнем должно быть больше нуля. Рассмотрим пример, по ходу решения которого, я и буду объяснять все необходимое.

Обозначим уравнения как (1) и (2) для упрощения объяснений.

Итак, сначала всегда нужна ОДЗ (область допустимых значений). Это интервалы значений, в пределах которых могут быть наши переменные.
Исходя из того, что у нас есть корень из у, мы пишем:


Поясню про синус. Как известно, синус имеет значения от -1 до 1. Исходя из этого, выразив его из уравнения (2), мы получим область для у, но это не все. Можно сделать вывод так же относительно sin x: так как корень из y  больше нуля, мы имеем из второго уравнения:

Теперь мы знаем, что sinx<0 - это нам пригодится.



Приступаем к решению.
Рассмотрим уравнение (1). Будет удобно обозначить cosx переменной t, тогда:

Поясню, что я сделал. Здесь видна формула квадрата разности, но для нее нам необходимо 52, поэтому мы распишем 16 как 25-9.
В итоге у нас получается формула разности квадратов. Распишем ее:


Это распадающееся уравнение. Очевидно, что 0 будет в случаях, когда левая или правая скобки равны 0 или обе одновременно, тогда:

Но t=cosx, а cosx так же имеет значения от -1 до 1, а, значит, t=1.5, нас это не устраивает. Остается, что t=0.5.
Т.е. cosx=0.5
Вспомним из ОДЗ, что sinx у нас получился меньше нуля, из чего следует вывод, что при данном значении косинуса:

Теперь рассмотрим уравнение (2). Все довольно очевидно

Теперь найдем значения х
,где к - это целое число, что, собственно, и написано.
Поясняю: у нас определенное значение косинуса и синуса, а значит, это одна точка на окружности, точнее их множество, но именно в этом месте - на единичной окружности.



Лекция добавлена 22.08.2011 в 00:49:58