Экстремальные точки. Наибольшее и наименьшее значение функции

Определение множества значений функции (min, max функции, наибольшее, наименьшее значения, экстремумы) 

  • Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).
  • Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).
  • Точки минимума и точки максимума называю
  • тся точками экстремума.

Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.

  • Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками.

Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.

Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:

1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.

2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума.


ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [a;b].

1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.

f ′(x)                +                       –                        +
                 a_________ x0____________x1______________ b

 

f (x)                   /                       \                        /

 

3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).

 

4. x max = x0,           x min = x1.

 

5. y max = y(x0),       y min = y(x1).


Лекция добавлена 10.07.2012 в 07:07:36