Циклический определитель (циркулянт) еще раз

 

 

А теперь рассмотрим циркулянт общего вида

D_n=\left|\begin{array}{cccc}<br />
a_1&a_2&\ldots&a_n\\<br />
a_n&a_1&\ldots&a_{n-1}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_2&a_3&\ldots&a_1<br />
\end{array}\right|.

Рассмотрим полином f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\ldots+a_nx^{n-1}. Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по \varepsilon_1,\varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n (\varepsilon_j — корень степени n из 1) и воспользуемся равенством \varepsilon_k^n=1. Получим

\left|\begin{array}{cccc}<br />
a_1&a_2&\ldots&a_n\\<br />
a_n&a_1&\ldots&a_{n-1}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_2&a_3&\ldots&a_1<br />
\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{cccc}<br />
1&1&\ldots&1\\<br />
\varepsilon_1&\varepsilon_2&\ldots&\varepsilon_n\\<br />
\ldots&&&\\<br />
\varepsilon_1^{n-1}&\varepsilon_2^{n-1}&\ldots&\varepsilon_n^{n-1}<br />
\end{array}\right|=

=\left|\begin{array}{cccc}<br />
f(\varepsilon_1)&f(\varepsilon_2)&\ldots&f(\varepsilon_n)\\<br />
\varepsilon_1f(\varepsilon_1)&\varepsilon_2f(\varepsilon_2)<br />
&\ldots&\varepsilon_nf(\varepsilon_n)\\<br />
\ldots&&&\\<br />
\varepsilon_1^{n-1}f(\varepsilon_1)&\varepsilon_2^{n-1}f(\varepsilon_2)&\ldots&\varepsilon_n^{n-1}f(\varepsilon_n)=\end{array}\right|=

=f(\varepsilon_1)f(\varepsilon_2)\ldots f(\varepsilon_n)<br />
\left|\begin{array}{cccc}<br />
1&1&\ldots&1\\<br />
\varepsilon_1&\varepsilon_2&\ldots&\varepsilon_n\\<br />
\ldots&&&\\<br />
\varepsilon_1^{n-1}&\varepsilon_2^{n-1}&\ldots&\varepsilon_n^{n-1}<br />
\end{array}\right|,

откуда

D_n=f(\varepsilon_1)f(\varepsilon_2)\ldots f(\varepsilon_n),

поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:14:29