Циклический определитель (циркулянт)

 

 

\Delta_n=\left|\begin{array}{ccccc}<br />
1&2&3&\ldots&n\\<br />
n&1&2&\ldots&n-1\\<br />
n-1&n&1&\ldots&n-2\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
2&3&4&\ldots&1<br />
\end{array}\right|.

В строках циклически передвигаются 1,2,3,\ldots,n.

Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим

\displaystyle\Delta_n={n(n+1)\over 2}\left|\begin{array}{ccccc}<br />
1&2&3&\ldots&n\\<br />
n&1&2&\ldots&n-1\\<br />
n-1&n&1&\ldots&n-2\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
3&4&5&\ldots&2\\<br />
1&1&1&\ldots&1<br />
\end{array}\right|.

Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:

\displaystyle\Delta_n={n(n+1)\over 2}\left|\begin{array}{cccccc}<br />
1&1&1&\ldots&1&1\\<br />
n&1-n&1&\ldots&1&1\\<br />
n-1&1&1-n&\ldots&1&1\\<br />
\ldots&&&&&\\<br />
3&1&1&\ldots&1-n&1\\<br />
1&0&0&\ldots&0&0<br />
\end{array}\right|=

\displaystyle={n(n+1)\over 2}(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{ccccc}<br />
1&1&\ldots&1&1\\<br />
1-n&1&\ldots&1&1\\<br />
1&1-n&\ldots&1&1\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
1&1&\ldots&1-n&1<br />
\end{array}\right|.

Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:

\displaystyle\begin{array}{l}<br />
\Delta_n={n(n+1)\over 2}(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{rrrrr}<br />
1&1&\ldots&1&1\\<br />
-n&0&\ldots&0&0\\<br />
0&-n&\ldots&0&0\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
0&0&\ldots&-n&0<br />
\end{array}\right|=\\[5mm]<br />
\displaystyle<br />
{n(n+1)\over 2}(-1)^{n+1+n+n-2}n^{n-2}=(-1)^{n-1}{n^{n-1}(n+1)\over 2}.<br />
\end{array}

 


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:19:01