Ленточный определитель. Определитель Якоби

 

 

{\frak J}_n =\left|\begin{array}{ccccccc}<br />
a_1 &b_1&0&0& \ldots & 0 & 0\\<br />
-c_2 &a_2&b_2&0& \ldots & 0 & 0\\<br />
0 &-c_3&a_3&b_3& \ldots & 0 & 0\\<br />
\ldots &&& \ldots &&& \\<br />
0 &0&0&0& \ldots & a_{n-1} & b_{n-1}\\<br />
0 &0&0&0& \ldots & -c_n & a_{n}<br />
\end{array}\right|_{n\times n}

после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_{n-1},c_2,\ldots,c_n, линейный по каждой переменной. Если разложить {\frak J}_n по последней строке, то получим:

\begin{array}{l}<br />
{\frak J}_n=a_n{\frak J}_{n-1}+b_{n-1}c_n{\frak J}_{n-2}= \\<br />
=a_n(a_{n-1}{\frak J}_{n-2}+b_{n-2}c_{n-1}{\frak J}_{n-3})+<br />
b_{n-1}c_n{\frak J}_{n-2}= \\<br />
=(a_na_{n-1}+b_{n-1}c_n){\frak J}_{n-2}+a_nb_{n-2}c_{n-1}{\frak J}_{n-3}=\ldots<br />
\end{array}

Теорема. Значение {\frak J}_n равно сумме главного члена a_1a_2\times \ldots  \times a_{n} и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей a_ja_{j+1} на b_jc_{j+1}.

Частный случай определителя Якоби — континуант:

{\sf K}_n(a_1,a_2,\ldots,a_{n})=<br />
\left|\begin{array}{ccccccc}<br />
a_1 &1&0&0& \ldots & 0 & 0\\<br />
-1 &a_2&1&0& \ldots & 0 & 0\\<br />
0 &-1&a_3&1& \ldots & 0 & 0\\<br />
\ldots &&& \ldots &&& \\<br />
0 &0&0&0& \ldots & a_{n-1} & 1\\<br />
0 &0&0&0& \ldots & -1 & a_{n}<br />
\end{array}\right|_{n\times n}

Его величина совпадает с континуантой.

Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (при
одинаковых элементах на диагоналях):

a_1=\ldots=a_n= a, \  b_1=\ldots=b_{n-1}= b, \<br />
c_2=\ldots=c_n= c.

В этом случае уравнение получим

{\frak J}_n=a{\frak J}_{n-1}+bc{\frak J}_{n-2}.

Таким образом, для нахождения определителя {\frak J}_n нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители {\frak J}_1 и {\frak J}_2:

{\frak J}_1=a,{\frak J}_2=a^2+bc.

Упражнение. Вычислить определитель

\left| \begin{array}{ccccccc}<br />
6 & 11 & 6 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\<br />
1 & 6 & 11 & 6 & \ldots & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 6 & 11 & \ldots & 0 & 0 \\<br />
\ldots&  &&&&&    \ldots \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 6 & 11 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0  & \ldots & 1 & 6<br />
\end{array} \right|_{n \times n}.

 


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:01:17