Определитель Вандермонда

 

 

V(x_1,\ldots,x_n)=<br />
\left|\begin{array}{ccccc}<br />
1 &x_1&x_1^2&\ldots&x_1^{n-1}\\<br />
1 &x_2&x_2^2&\ldots&x_2^{n-1}\\<br />
& \ldots&\ldots&&\\<br />
1 &x_n&x_n^2&\ldots&x_n^{n-1}<br />
\end{array}\right|_{n\times n}=

Вычтем последовательно из n-го, (n-1)-го, \ldots, второго столбца предыдущий, домноженный на x_1:

=\left|\begin{array}{ccccc}<br />
1 &0&0&\ldots&0\\<br />
1 &x_2-x_1&x_2^2-x_2x_1&\ldots&x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1\\<br />
& \ldots&\ldots&&\\<br />
1 &x_n-x_1&x_n^2-x_nx_1&\ldots&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1<br />
\end{array}\right|_{n\times n}=

разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя (n-1)-го порядка:

=(x_2-x_1)\times  \ldots \times (x_n-x_1)<br />
\left|\begin{array}{cccc}<br />
1 &x_2&\ldots&x_2^{n-2}\\<br />
& \ldots&\ldots&\\<br />
1 &x_n&\ldots&x_n^{n-2}<br />
\end{array}\right|_{(n-1)\times (n-1)}=

=(x_2-x_1)\times  \ldots \times (x_n-x_1)V(x_2,\ldots,x_n).

Определитель V(x_2,\ldots,x_n) имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:

V(x_2,\ldots,x_n)=(x_3-x_2)\times \ldots \times (x_n-x_2)V(x_3,\ldots,x_n).

Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу

\displaystyle V(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j).


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:16:17