Определитель матрицы Гильберта

 

 

Если h_{j+k-2}=\frac{1}{j+k-1} при \{j,k\}\in \{1,\ldots,n\}, то определитель матрицы Гильберта

{\frak H}_n=\left[\begin{array}{lllll}<br />
1 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\ldots& \frac{1}{n}\\<br />
& & & & \\<br />
\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\ldots& \frac{1}{n+1}\\<br />
& & & & \\<br />
\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\ldots& \frac{1}{n+2}\\<br />
& & & & \\<br />
& \ldots &\ldots&&\\<br />
\frac{1}{n}&\frac{1}{n+1}&\frac{1}{n+2}&\ldots& \frac{1}{2n-1}<br />
\end{array}\right]_{n\times n}

равен

\displaystyle\frac{[1!\,2!\, 3! \ldots (n-1)!]^3}{n!\, (n+1)!\, (n+2)!\, \dots (2n-1)!}.

Он получается из определителя Коши, если положить a_j=j-1b_j=j.


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:11:18