Определитель Коши

 

 

\det \left[\frac{1}{a_j+b_k} \right]_{j,k=1}^n=\left|\begin{array}{cccc}<br />
\frac{1}{a_1+b_1} &\frac{1}{a_1+b_2}&\ldots&\frac{1}{a_1+b_n}\\<br />
& & & \\<br />
\frac{1}{a_2+b_1} &\frac{1}{a_2+b_2}&\ldots&\frac{1}{a_2+b_n}\\<br />
& & & \\<br />
& \ldots& & \ldots\\<br />
\frac{1}{a_n+b_1} &\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots&\frac{1}{a_n+b_n}<br />
\end{array}\right|_{n\times n},

Вычтем из второго, третьего и т.д., n-го столбца первый:

\left|\begin{array}{cccc}<br />
\frac{1}{a_1+b_1} &\frac{b_1-b_2}{(a_1+b_2)(a_1+b_1)}&\ldots<br />
&\frac{b_1-b_n}{(a_1+b_n)(a_1+b_1)}\\<br />
& & & \\<br />
\frac{1}{a_2+b_1} &\frac{b_1-b_2}{(a_2+b_2)(a_2+b_1)}&\ldots&<br />
\frac{b_1-b_n}{(a_2+b_n)(a_2+b_1)}\\<br />
& & & \\<br />
\cdots& &&\cdots\\<br />
\frac{1}{a_n+b_1} &\frac{b_1-b_2}{(a_n+b_2)(a_n+b_1)}&\ldots&<br />
\frac{b_1-b_n}{(a_n+b_n)(a_n+b_1)}<br />
\end{array}\right|_{n\times n}=

и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

=\frac{(b_1-b_2)\times \ldots \times(b_1-b_n)}{(a_1+b_1)(a_2+b_1)\times\ldots \times(a_n+b_1)}\left|\begin{array}{cccc}<br />
1 &\frac{1}{a_1+b_2}&\ldots<br />
&\frac{1}{a_1+b_n}\\<br />
& & & \\<br />
1 &\frac{1}{a_2+b_2}&\ldots&<br />
\frac{1}{a_2+b_n}\\<br />
& & & \\<br />
\cdots& &&\cdots\\<br />
1 &\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots&<br />
\frac{1}{a_n+b_n}<br />
\end{array}\right|_{n\times n}

Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., n-й:

= \frac{(b_1-b_2)\ldots (b_1-b_n)}{(a_1+b_1)(a_2+b_1)\ldots (a_n+b_1)}\left|\begin{array}{cccc}<br />
1 &\frac{1}{a_1+b_2}&\ldots<br />
&\frac{1}{a_1+b_n}\\<br />
& & & \\<br />
0 &\frac{a_1-a_2}{(a_2+b_2)(a_1+b_2)}&\ldots&<br />
\frac{a_1-a_2}{(a_2+b_n)(a_1+b_n)}\\<br />
& & & \\<br />
\cdots& &&\cdots\\<br />
0 &\frac{a_1-a_n}{(a_n+b_2)(a_1+b_2)}&\ldots&<br />
\frac{a_1-a_n}{(a_n+b_n)(a_1+b_n)}<br />
\end{array}\right|_{n\times n},

разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

=<br />
\frac{(-1)^{2(n-1)}(b_2-b_1)\ldots (b_n-b_1)(a_2-a_1)\ldots (a_n-a_1)}{(a_1+b_1)(a_2+b_1)\ldots (a_n+b_1)(a_1+b_2)\ldots (a_1+b_n)}\left|\begin{array}{ccc}<br />
\frac{1}{a_2+b_2}&\ldots &\frac{1}{a_2+b_n}\\<br />
& &  \\<br />
\cdots& &\cdots\\<br />
\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots& \frac{1}{a_n+b_n}<br />
\end{array}\right|_{(n-1)\times (n-1)}

В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:

\det \left[\frac{1}{a_j+b_k} \right]_{j,k=1}^n=\frac{<br />
\displaystyle{\prod_{1\le j < k\le n}[(a_j-a_k)(b_j-b_k)]}}<br />
{\displaystyle{\prod_{j, k= 1}^n(a_j+b_k)}} .


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:12:28