Геометрия

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами (x_1,y_1) и (x_2,y_2):

\left|\begin{array}{ccc}<br />
x&y&1\\<br />
x_1&y_1&1\\<br />
x_2&y_2&1 \end{array}\right|=0.

Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами (x_1,y_1),(x_2,y_2), и (x_3,y_3):

\left|\begin{array}{cccc}<br />
x^2+y^2&x&y&1\\<br />
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\<br />
x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\<br />
x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0.

При условии, что все три точки лежат на одной прямой:

\left|\begin{array}{ccc}<br />
x_1&y_1&1\\<br />
x_2&y_2&1\\<br />
x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0

окружность вырождается в прямую

\left|\begin{array}{cccc}<br />
0&x&y&1\\<br />
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\<br />
x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\<br />
x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_0,y_0,z_0) параллельно векторам {\bf a}=(a_1,a_2,a_3) и {\bf b}=(b_1,b_2,b_3):

\left|\begin{array}{ccc}<br />
x-x_0&y-y_0&z-z_0\\<br />
a_1&a_2&a_3\\<br />
b_1&b_2&b_3<br />
\end{array}\right|=0.

Замечание. Сформулированные геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об интерполяции.

Определение. Определителем Грама векторов {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n евклидова пространства \mathbb{E}^n называется определитель

G({\bf a}_1,\dots,{\bf a}_n)=\left|\begin{array}{cccc}<br />
({\bf a}_1,{\bf a}_1)&({\bf a}_1,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_1,{\bf<br />
a}_n)\\<br />
({\bf a}_2,{\bf a}_1)&({\bf a}_2,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_2,{\bf<br />
a}_n)\\<br />
\ldots&&&\\<br />
({\bf a}_n,{\bf a}_1)&({\bf a}_n,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_n,{\bf a}_n)<br />
\end{array}\right|.

Теорема. Расстояние d от точки, заданной вектором {\bf x}, до линейного многообразия {\cal P}={\bf x}_0+{\cal L}, где {\cal L} — линейное пространство с базисом {\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_k, находится по формуле

\displaystyle d^2=\frac{G({\bf a}_1,\dots,{\bf a}_k,{\bf x}-{\bf x}_0)}{G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_k)}.

Доказательство. Положим {\bf x}-{\bf x}_0={\bf y}+{\bf z}, где {\bf y}\in{\cal L}{\bf z}\in{\cal L}^*. Тогда d^2=({\bf z},{\bf z}).

Пусть {\bf y}=\lambda_1{\bf a}_1+\lambda_2{\bf<br />
a}_2+\ldots+\lambda_k{\bf a}_k. Из последнего столбца определителя G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_k,{\bf x}-{\bf x}_0) вычтем предыдущие столбцы, умноженные соответственно на \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k. На месте ({\bf a}_i,{\bf x}-{\bf x}_0) получится нуль, а на месте ({\bf x}-{\bf x}_0,{\bf x}-{\bf x}_0) будет ({\bf x}-{\bf x}_0,{\bf z})=({\bf z},{\bf z}).

Определение. Объем n-мерного параллелепипеда, построенного на линейно независимых векторах {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n евклидова пространства \mathbb{E}^m определяется индуктивно условиями:

1) V({\bf a}_1)=|{\bf a}_1|;

2) V({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n)=V({\bf a}_1,\ldots,{\bf<br />
a}_{n-1})\cdot h_n, где h_n — длина ортогональной составляющей вектора {\bf a}_n относительно линейного пространства, натянутого на векторы {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_{n-1}.

Теорема.

V({\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_n)=\sqrt{G({\bf a}_1,\ldots,{\bf<br />
a}_n)}=\sqrt{DD^T},

где

D=\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1m}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2m}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nm}<br />
\end{array}\right),

{\bf a}_1=(a_{11},a_{12},\ldots,a_{1m}),\ldots,{\bf<br />
a}_n=(a_{n1},a_{n2},\ldots,a_{nm}),

и координаты векторов даны в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства \mathbb{E}^m.

Доказательство. По индукции. База верна. По теореме о расстоянии найдем h_n:

\displaystyle h_n^2=\frac{G({\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_{n-1},{\bf a}_n)}{G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_{n-1})}.

Подставим полученное выражение в формулу

V({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n)=V({\bf a}_1,\ldots,{\bf<br />
a}_{n-1})\cdot h_n

и с помощью индукционного предположения получим
первую часть утверждения.

Для доказательства второй части заметим, что в ортонормированном базисе скалярное произведение

({\bf x},{\bf y})=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_my_m,

если {\bf x}=(x_1,\ldots,x_m){\bf y}=(y_1,\ldots,y_m). Тогда

\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1m}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2m}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nm}<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\<br />
a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{1m}&a_{2m}&\ldots&a_{nm}<br />
\end{array}\right)=G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n),

откуда и следует требуемое.

Замечание. На основании свойств определителя Грама, выражение под знаком квадратного корня всегда неотрицательно.

Пример 1. Площадь параллелограмма на плоскости, натянутого на векторы (x_1,y_1) и (x_2,y_2) равна абсолютной величине (модулю) определителя

\left|\begin{array}{cc}<br />
x_1&y_1\\<br />
x_2&y_2<br />
\end{array}\right|.

2. Площадь параллелограмма в пространстве, натянутого на векторы (x_1,y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2) равна

\arraycolsep=1mm<br />
\sqrt{\det\left[\left(\begin{array}{ccc}<br />
x_1&y_1&z_1\\<br />
x_2&y_2&z_2 \end{array} \right)\cdot\left(<br />
\begin{array}{cc}<br />
x_1&x_2\\<br />
y_1&y_2\\<br />
z_1& z_2 \end{array}\right) \right]}=\sqrt{\left|\begin{array}{cc}<br />
x_1^2+y_1^2+z_1^2&x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\\<br />
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2&x_2^2+y_2^2+z_2^2 \end{array}\right|}.

3. Площадь треугольника с вершинами (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) как половина площади параллелограмма равна абсолютной величине (модулю) выражения

\displaystyle \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}<br />
1&x_1&y_1\\<br />
1&x_2&y_2\\<br />
1&x_3&y_3<br />
\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}<br />
x_2-x_1&y_2-y_1\\<br />
x_3-x_1&y_3-y_1 \end{array}\right|.

4. Площадь n-угольника P_0P_1\ldots P_{n-1} с вершинами P_0(x_0,y_0),\ldots,P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1}) равна абсолютной величине (модулю) выражения

\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-2}\left|\begin{array}{ccc}<br />
1&x_0&y_0\\<br />
1&x_k&y_k\\<br />
1&x_{k+1}&y_{k+1}<br />
\end{array}\right|.

при условии, что стороны не пересекаются.

Следствие 1. Объем тетраэдра, построенного на векторах {\bf a},{\bf b},{\bf c}, равен \displaystyle\frac{1}{6} объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Отсюда объем тетраэдра с вершинами (x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2)(x_3,y_3,z_3)(x_4,y_4,z_4) равен абсолютной величине (модулю) выражения

\displaystyle\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}<br />
x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\<br />
x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\<br />
x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1<br />
\end{array}\right|=<br />
\frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc}<br />
1&x_1&y_1&z_1\\<br />
1&x_2&y_2&z_2\\<br />
1&x_3&y_3&z_3\\<br />
1&x_4&y_4&z_4 \end{array}\right|.

Следствие 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми с параметрическими уравнениями \vec{r}=\vec{r}_1+\vec{a}_1t и \vec{r}=\vec{r}_2+\vec{a}_2t. Построим параллелепипед со сторонами \vec{r}_1-\vec{r}_2\vec{a}_1 и \vec{a}_2. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелепипеда.

\displaystyle<br />
\rho=\frac{V}{S}=\frac{|(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{r}_1-\vec{r}_2)|}{| [\vec{a}_1,\vec{a}_2]|}=\frac{\left|\det\left(\begin{array}{ccc}<br />
x_1-x_2&y_1-y_2&z_1-z_2\\<br />
\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2&\gamma_2<br />
\end{array}\right)\right|}{\sqrt{\left|\begin{array}{cc}<br />
\beta_1&\gamma_1\\<br />
\beta_2&\gamma_2<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
\gamma_1&\alpha_1\\<br />
\gamma_2&\alpha_2<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
\alpha_1&\beta_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2<br />
\end{array}\right|^2}}=

=\frac{\left|\det\left(\begin{array}{ccc}<br />
x_1-x_2&y_1-y_2&z_1-z_2\\<br />
\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2&\gamma_2<br />
\end{array}\right)\right|}{\sqrt{\det\left[\left(\begin{array}{ccc}<br />
\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2&\gamma_2 \end{array} \right)\cdot\left(<br />
\begin{array}{cc}<br />
\alpha_1&\alpha_2\\<br />
\beta_1&\beta_2\\<br />
\gamma_1& \gamma_2 \end{array}\right) \right]}}.

Следствие 3. Расстояние от точки с радиус-вектором \vec{r}_1 до прямой с параметрическим уравнением \vec{r}=\vec{r}_0+\vec{a}t. Построим параллелограмм со сторонами \vec{r}_1-\vec{r}_0$ и $\vec{a}. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелограмма.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\rho=\frac{S}{|\vec{a}|}=\frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0,\vec{a}]|}{|\vec{a}|}=\\[5mm]<br />
\displaystyle =\frac{\sqrt{\left|\begin{array}{cc}<br />
y_1-y_0&z_1-z_0\\<br />
\beta&\gamma<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
z_1-z_0&x_1-x_0\\<br />
\gamma&\alpha<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
x_1-x_0&y_1-y_0\\<br />
\alpha&\beta<br />
\end{array}\right|^2}}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}.<br />
\end{array}

Теорема. Объем n-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями

a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\ldots+a_{jn}x_n=\pm h_j,\quad h_j\ge0,\ j\in\{1,2,\ldots,n\}

равен

\displaystyle V=\frac{2^nh_1h_2\ldots h_n}{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n}.

Доказательство. Очевидно, что начало координат находится в точке пересечения диагоналей параллелепипеда. Выберем n вершин параллелепипеда таким образом, чтобы

\arraycolsep=1mm<br />
\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}<br />
x_{11}&x_{21}&\ldots&x_{n1}\\<br />
x_{12}&x_{22}&\ldots&x_{n2}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
x_{n1}&x_{n2}&\ldots&x_{nn}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{crrcr}<br />
h_1&-h_1&-h_1&\ldots&-h_1\\<br />
h_2&h_2&-h_2&\ldots&-h_2\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
h_n&h_n&h_n&\ldots&h_n<br />
\end{array}\right).

Здесь (x_{11},x_{12},\ldots,x_{n2}),\ldots(x_{n1},x_{n2},\ldots,x_{nn}) — координаты вершин. Это возможно, так как имеем 2^n систем линейных уравнений с одной и той же матрицей A, выбираем из них n.

Объем параллелепипеда найдем, воспользовавшись предыдущей теоремой. Для этого перейдем в систему координат с началом в вершине, которая определяется системой уравнений

a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\ldots+a_{jn}x_n=-h_j,\ j\in\{1,2,\ldots,n\}.

В этой системе координат составим матрицу из координат n выбранных вершин:

X=\left(\begin{array}{cccc}<br />
2x_{11}&x_{21}+x_{11}&\ldots&x_{n1}+x_{11}\\<br />
2x_{12}&x_{22}+x_{12}&\ldots&x_{n2}+x_{12}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
2x_{1n}&x_{2n}+x_{1n}&\ldots&x_{nn}+x_{1n}<br />
\end{array}\right).

Домножим матрицу X слева на A, получим

AX=\left(\begin{array}{ccccc}<br />
2h_1&0&0&\ldots&0\\<br />
2h_2&2h_2&0&\ldots&0\\<br />
2h_3&2h_3&2h_3&\ldots&0\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
2h_n&2h_n&2h_n&\ldots&2h_n<br />
\end{array}\right).

Перейдем в этом равенстве к определителям, получим, учитывая, что |X|=V:

|A|V=2^nh_1h_2\ldots h_n,

что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема. Объем n-мерного эллипсоида, ограниченного поверхностью

(x_1,x_2,\ldots,x_n)\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n<br />
\end{array}\right)=1

(квадратичная форма, стоящая в левой части, положительно определена) равен

\displaystyle\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\frac{1}{\sqrt{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n}}.

Здесь \Gamma обозначает гамма-функцию:

\displaystyle\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}{z(z+1)\ldots(z+n)}n^z.

Если вещественная часть числа z положительна, то можно также пользоваться формулой

\displaystyle\Gamma(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx

(эйлеров интеграл 2-го рода).

При вычислениях значений \Gamma-функции в последней формуле достаточно пользоваться следующими ее свойствами:

\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\ \forall x>0,

\Gamma(n+1)=n!\ \forall n\in\mathbb{N}.

Доказательство. Докажем сначала эту формулу для n-мерного шара. Подобное преобразование тела в n-мерном пространстве влечет изменение объема, пропорциональное n-й степени коэффициента подобия. Для параллелепипеда это непосредственно следует из формулы для объема, а для всякого другого тела объем есть предел суммы объемов параллелепипедов. Следовательно, объем V_n(R) n-мерного шара радиуса R равен V_n(1)R^n.

Для вычисления V_n(1) разобьем шар системой параллельных (n-1)4-мерных плоскостей и воспользуемся принципом Кавальери.

Пусть x — расстояние секущей плоскости от центра шара. Сечение есть n-мерный шар радиуса \sqrt{1-x^2}.

Следовательно,

\displaystyle V_n(1)=2\int_0^1V_{n-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)<br />
dx=2V_{n-1}(1)\int_0^1(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx=

\displaystyle=V_{n-1}(1)\int_0^1t^{\frac{n-1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=V_{n-1}(1)\mbox{\rm B}\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)=

\displaystyle=V_{n-1}(1)\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.

Отсюда следует, что

\displaystyle V_n(1)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.

Поскольку n-мерный эллипсоид получается из шара V_n(1) растяжениями в r_i раз вдоль i-й полуоси, его объем равен V_n(1)r_1r_2\ldots r_n. Как известно из курса аналитической геометрии, определитель матрицы равен произведению квадратов обратных полуосям величин. Отсюда
получаем утверждение теоремы.

Замечание. Здесь \mbox{\rm B}(p,q) обозначает бета-функцию:

\displaystyle \mbox{\rm B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx.

Значения бета-функции при различных значениях параметров p и q связаны между собой следующими соотношениями:

\displaystyle\mbox{\rm B}(p,q)=\mbox{\rm B}(q,p),\ \mbox{\rm B}(p,q)=\frac{q-1}{p+q-1}\mbox{\rm B}(p,q-1),\ q>1.

Справедлива формула

\displaystyle \mbox{\rm B}(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi},\ 0<p<1.

Бета функция выражается через гамма-функцию:

\displaystyle \mbox{\rm B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.

Пример 1. Площадь, ограниченная эллипсом a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2=1, вычисляется по формуле

\displaystyle S=\frac{\pi}{\sqrt{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}}.

Пример 2. Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом

(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\<br />
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\<br />
a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array}\right)=1

равен

\displaystyle V=\frac{4}{3}\frac{\pi}{\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\<br />
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\<br />
a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right|}}.

3. Объем фигуры, ограниченной четырехмерным эллипсоидом (в записи, аналогичной предыдущей) –

\displaystyle V=\frac{\pi^2}{2\sqrt{\det A}}.

 


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:35:16