Ганкелев определитель

Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:

H=\left[\begin{array}{llllll}<br />
h_0 &h_1&h_2&\ldots&h_{n-2}& h_{n-1}\\<br />
h_1 &h_2&h_3&\ldots&h_{n-1}& h_{n}\\<br />
h_2 &h_3&h_4&\ldots&h_{n}& h_{n+1}\\<br />
& \ldots& &\ldots&&\\<br />
h_{n-1} &h_n&h_{n+1}&\ldots &h_{2n-3}&h_{2n-2}<br />
\end{array}\right]_{n\times n} =<br />
\left[h_{j+k-2} \right]_{j,k=1}^{n}.

Элементы h_0,\ldots,h_{n-1},h_n,\dots,h_{2n-2} —  образующие ганкелевой матрицы.

Теорема. Если h_j=x_1^j+\ldots+x_n^j при j\in \{ 1,\ldots,{2n-2} \}, то

\det H = \prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j)^2 .

Доказательство. Матрицу H можно представить в виде произведения:

H=\left[\begin{array}{ccccc}<br />
1 &1&1&\ldots&1\\<br />
x_1 &x_2&x_3&\ldots&x_{n}\\<br />
& \ldots&\ldots&&\\<br />
x_1^{n-1} &x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\ldots&x_n^{n-1}<br />
\end{array}\right] \cdot<br />
\left[\begin{array}{ccccc}<br />
1 &x_1&x_1^2&\ldots&x_1^{n-1}\\<br />
1 &x_2&x_2^2&\ldots&x_2^{n-1}\\<br />
& \ldots&\ldots&&\\<br />
1 &x_n&x_n^2&\ldots&x_n^{n-1}<br />
\end{array}\right] .

На основании теоремы Бинe — Коши, \det H равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:

\displaystyle\det H=V(x_1,\ldots,x_n)^2=\prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j)^2.


Лекция добавлена 01.09.2012 в 12:14:04