Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур. Применение определенного интеграла для вычисления объемов тел. Применение определенного интеграла в физике и технике
 
Если нижняя и верхняя границы функции совпадают, то интеграл равен нулю.
 
Если в интеграла поменять местами нижнюю и верхнюю границы интегрирования, то значение интеграла изменится на противоположное.
 
Чтобы вычислить определенный интеграл от функции с постоянным множителем, можно устойчивое множитель вынести за знак интеграла.
 
Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов с теми же границами интегрирования от каждого слагаемого.
 
Определенный интеграл от заданной функции с границами интегрирования, являются противоположными числами, равна:
 
- Если функция нечетная, то нулю;
 
- Если функция парная, то удвоенному интегралу от той же функции, но от нуля до заданной верхней границы интегрирования.
 
Если фигура, площадь которой надо найти, ограничена графиками функций f (x) (ограничивает сверху) и g (x) (ограничивает снизу), то для вычисления площади такой фигуры надо вычислить интеграл от разности этих функций на заданном промежутке.
 
Если криволинейная трапеция ограничена сверху различными функциями, то площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху каждой из этих функций.
 
Если фигура расположена в отрицательной полуплоскости относительно оси абсцисс, то ее площадь можно найти как модуль определенного соответствующего интеграла.
 
Для вычисления площадей фигур, ограниченных графиками заданных функций, используем такую схему:
 
- Построить фигуру, площадь которой надо найти в координатной плоскости;
 
- Найти абсциссы точек пересечения графиков заданных функций.
 
- Составить и вычислить интеграл от разницы верхней и нижней функций с границами интегрирования, равным абсциссы точек пересечения графиков функций.
 
Обратите внимание! Нижней границей интегрирования надо брать левый конец отрезка, на котором определяется криволинейная трапеция.
 
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной неотъемлемой функции, равна определенному интегралу квадрата функции, умноженного на константу π.
 
Работа переменной силы вдоль оси абсцисс на заданном промежутке равна определенному интегралу от функции силы.
 
Путь проходит тело с переменной скоростью за промежуток времени, равный интегралу от функции скорости.
 
Масса стержня с переменной плотностью с заданной длиной равна определенному интегралу от функции плотности.

Лекция добавлена 28.02.2014 в 13:18:52