Производные элементарных функций. Правила

 

 

Производной  функции y = f(x) называется такая новая функция, которая  при каждом значении независимой переменной x равна пределу  отношения  приращения  y функции  к приращению  x независимой переменной  x при произвольном стремлении x к нулю:


Геометрический   смысл производной.   Значение   производной 


Механический  смысл производной. Мгновенная скорость нерав- номерного прямолинейного движения есть производная от функции, выражающей зависимость пройденного пути S от времени t:
 

Правила  дифференцирования (u, v, w — функции  аргумента  x, по которому проводится дифференцирование).
Производная произведения:


Производная частного  (дроби):


Производная сложной функции:
 

Основные формулы дифференцирования:




Уравнение касательной к графику функции y = f(x) имеет вид:

 
Возрастание  и убывание функций (достаточный  признак).   Если производная  данной  функции   существует  и положительна (от-рицательна) для  всех значений  x в интервале    (a,b), то  функция в этом интервале  возрастает (соответственно, убывает).
Максимумы и минимумы функции. Точка x = x0 называется точ- кой  (относительного) максимума функции  f(x),  если  существует такая окрестность точки x0, что для всех значений x из этой окрест- ности выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точка x = x0   называется  точкой  (относительного) минимума функции  f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех значений x из этой окрестности  выполняется неравенство f(x) > f(x0). Для максимума и минимума функции, а также для  значе- ний функции  в граничных  точках  ее области определения существует общее название — экстремум.
Необходимый  признак существования  максимума  или  минимума функции. В точках  максимума и минимума функций y = f(x) ее производная f '(x) (если она существует в этих точках) обращается в нуль: f '(x) = 0.
 
Замечание 1. Не при всяком значении x0, для которого  произ-водная f '(x) равна нулю (f '(x) = 0), функция f(x) имеет максимум или  минимум.
Замечание 2. Функция y = f(x) может иметь экстремум и в точках разрыва своей производной f '(x).  Корни  уравнения f '(x)  = 0 называются стационарными точками.
Отыскание  точек максимума или минимума. Для отыскания  точек (относительных) максимума и минимума переменной величины поступают так:
1)  выразив сообразно  условию задачи данную  переменную  величину  как  функцию независимой переменной,  находят  производную этой  функции  (пусть  — (a,b) область определения этой функции);
2)  приравнивают производную нулю, решают полученное уравнение f '(x) = 0 и находят его корни (стационарные  точки). Кроме них, находят еще и точки разрыва производной;
3)  каждую из стационарных точек,  а также точек разрыва производной исследуют на максимум и минимум одним из следующих двух способов.
Первый способ.
Допустим,  что c1, c2, .., ck  — корни уравнения f '(x) = 0. В таком  случае определяем   знаки  производной  f '(x)  в каждом  из интервалов  (a,c1), (c1,c2), ..,  (ck,b). Тем  самым  будет выяснено, изменяет и как  именно производная знак  при переходе (слева направо)  через каждую  из точек  c1,  c2,  ..,  ck.  Если при переходе, например, через точку  производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке функция имеет минимум, если с плюса на ми- нус  — то максимум.  Если же знак  производной при  переходе, например, через точку  c2  не меняется,  то в этой  точке функция не имеет экстремума.
Второй  способ.
Пусть c1, c2, .., ck  — корни уравнения f '(x) = 0. Находим вторую производную f ''(x) = 0 и определяем знак второй производной при каждом из значений c1, c2, .., ck. Если, например, в точке  c1     f ''(x) = 0, то в этой  точке  функция имеет максимум;  если,  например, в точке c2f ''(x) = 0, то в этой точке функция имеет минимум; если же, например, в точке c3 f ''(x) = 0, то ничего определенного сказать нельзя. В последнем случае следует обратиться к первому способу отыскания  экстремума функции. выпуклой (вогнутой) кверху, если ее произвольная дуга лежит над (под) хордой, стягивающей  эту дугу.

Достаточный  признак выпуклости  и вогнутости  функции. Если вторая производная данной функции  положительна в интервале, то функция в этом интервале  вогнута кверху; если же в интервале (отрицательна), то функция выпукла кверху.
Точки перегиба.  Точка, в которой  кривая расположена по разные  стороны   своей  касательной,  называется  точкой   перегиба.
Точка перегиба отделяет выпуклую часть  кривой от вогнутой  ее части.
Необходимый признак существования  точки перегиба.  В точках перегиба графика функции ее вторая производная обращается в нуль.
Замечание  1.  Однако  не  при  всяком  значении,  для  которого вторая производная обращается  в нуль,  функция имеет точку перегиба.
Замечание 2. Функция может иметь точку  перегиба и в точках разрыва второй производной.
Отыскание точек перегиба. Для отыскания  точек перегиба графика функции  необходимо:
1)  вычислить вторую производную данной функции;
2)  найти те значения в интервале, при которых  обращается в нуль (т. е. решить уравнение) или  имеет точку разрыва;
3)  определить  знак второй производной в каждом из интервалов.
Тем  самым будет выяснено,  изменяет ли вторая производная знак  при переходе через каждую из точек.  Изменение  знака,  например, в точке,  указывает,  что  функция имеет точку  перегиба.
Если знак не изменяется, например, при переходе через точку,  то функция не имеет точки перегиба. Если функция имеет точку  перегиба, то, определив значение функции  в этой точке,  мы найдем координаты точки перегиба.

 

 


Лекция добавлена 25.02.2014 в 21:57:01