Предел функции. Применение предела функции. Непрерывность функций

Число А называется пределом некоторой функции F (x), когда аргумент стремится к х0 (икс нулевого), если для всех точек х, отличных от х0, содержащиеся в достаточно малом дельта-окрестности точки х0 значение функции F (x) содержатся в качестве угодно малом эпсилон-окрестности точки А.
 
Если границы функций F (x) и G (x) при х, стремящемся к х0 существуют и конечным, то выполняются правила:
 
- Предел суммы этих функций равна сумме их границ;
 
- Предел разности этих функций равен разности их границ;
 
- Предел произведения этих функций равен произведению их границ;
 
- Предел отношения этих функций равно отношению их границ, если предел делителя отлична от нуля.
 
Для того чтобы найти границу элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащего области определения функции, нужно вместо аргумента в выражение подставить предельное значение аргумента. Это правило называется правилом предельного перехода.
 
Запомните некоторые важные границы:
 
- Предел доли единицы и х равен нулю, если х стремится к бесконечности.
 
- Предел доли синуса х и х равен единице, если х пярмуе к нулю.
 
Границы функции применяют для нахождения асимптот графика функции:
 
Прямая х = А является вертикальной асимптотой, если предел этой функции равен бесконечности при аргументе, стремящейся к А.
 
Прямая у = В является горизонтальной асимптотой, если предел этой функции равно числу В при аргументе, что стремится к бесконечности.
 
Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если предел отношения функции к ее аргументу равно числу k при аргументе, что стремится к бесконечности и если граница разницы функции и kx равно числу b при аргументе, что стремится к бесконечности.
 
Функция называется непрерывной в некоторой точке, если эта функция определена в каком-либо окрестности данной точки, и если граница прироста функции равна нулю, когда прирост аргумента стремится к нулю.
 
Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке.
 
Разница конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке.
 
Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке.
 
Отношение двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке, если делитель не равен нулю.

Лекция добавлена 28.02.2014 в 13:13:05