Наибольшее и наименьшее значения функции

Много практических задач сводятся к нахождению наибольших или наименьших значений некоторых функций на определенных промежутках. Применение производной к таких задач дает общий метод поиска таких значений.
 
При этом важную роль играет следующее утверждение: если функция непрерывна на некотором промежутке, то среди ее значений на этом промежутке является наибольшее и наименьшее.
 
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке такова:
 
- Найдите производную функции и ее критические точки;
 
- Найдите значение функции на концах промежутка;
 
- Найдите значение функции в критических точках, принадлежащих заданном промежутке;
 
- Из всех найденных значений функции выберите наибольшее и наименьшее.
 
Для решения практических задач сначала составляют аналитическое выражение для той функции, с помощью которой одна величина выражается через вторую, после чего находят наибольшее или наименьшее значение полученной функции.
 
При этом пользуются следующей схеме:
 
- Выберите одну из переменных (независимую переменную) и составьте через нее функцию (зависимую переменную), для которой находят наибольшее или наименьшее значение;
 
- Найдите промежуток изменения независимой переменной;
 
- Найдите производную функции, которую составили;
 
- Приравняют производную функции к нулю и найдите корни полученного уравнения;
 
- Найдите точки, в которых производная не существует;
 
- Найдите значение функции на концах промежутка изменения независимой переменной и в точках, где производная не существует или равна нулю;
 
- Выберите из найденных значений больше или меньше.
 
Обратите внимание!
 
1) Точка, в которой функция приобретает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:
 
- Добавление числа;
 
- Умножение на отличное от нуля число, но при умножении на отрицательное число наибольшее значение становится маленьким и наоборот;
 
- Возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотъемлемая.
 
2) Если положительная функция приобретает в некоторой точке наибольшего значения, то функции противоположная и обратная в этой же точке приобретают малейшего значения.
 
Если положительная функция приобретает в некоторой точке наименьшего значения, то функции противоположная и обратная в этой же точке приобретают наибольшее значение.

Лекция добавлена 28.02.2014 в 13:14:32