Комплексные числа. Теория

Если считать, что уравнение х2 = -1 имеет решение, можно расширить понятие числа, присоединив к множества действительных чисел множество комплексных чисел.
 
Число и, равной корню квадратному из минус единицы, называется мнимой единицей, а числа аи, где а-действительные числа, называются мнимыми числами (и - первая буква латинского слова imaginarius - «воображаемый»).
 
Обратите внимание! Квадрат мнимой единицы равен минус единицы; куб мнимой единицы равен мнимой единицы, взятой с противоположным знаком, четвертый степень мнимой единицы равен единице.
 
Комплексными называются числа вида а + bi, где a, b - действительные числа.
 
Обратите внимание! Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, когда b = 0.
 
В комплексного числа а + bi число а называется действительной частью числа, а bi - мнимой частью числа, где b - коэффициент мнимой части.
 
Свойства комплексных чисел
 
• два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и уровни коэффициенты мнимых частей;
 
• два комплексных числа a + bi и a - bi называются сопряженными числами;
 
• два комплексных числа a + bi и-а - bi называются противоположными числами;
 
• для комплексных чисел существуют понятия «больше» и «меньше», поэтому комплексные числа не сравнивают.
 
Действия над комплексными числами
 
• Для того чтобы выполнить сложение двух комплексных чисел, надо отдельно выполнить сложение их действительных и их мнимых частей.
 
• Для того чтобы выполнить вычитание двух комплексных чисел, надо отдельно выполнить вычитание их действительных и их мнимых частей. Сумма полученных чисел будет разницей заданных комплексных чисел.
 
• Для того чтобы найти произведение комплексных чисел, надо воспользоваться правилом, аналогичным правила умножения двучлена.
 
Если произведение комплексных чисел равна нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
 
Деление комплексных чисел выполняют, в основном, посредством умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
 
Свойства действий над комплексными числами
 
Каковы бы ни были комплексные числа для них исполняются переставной закон сложения (коммутативности) и соединительный закон сложения (ассоциативность).

Лекция добавлена 28.02.2014 в 13:19:24