Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции

Чтобы исследовать функцию на монотонность, воспользуйтесь следующей схеме:
 
- Найдите область определения функции;
 
- Найдите производную функции и область определения производной;
 
- Найдите нули производной, т.е. значение аргумента, при которых производная равна нулю;
 
- На числовом лучи отметьте общую часть области определения функции и области определения ее производной, а на ней - нули производной;
 
- Определите знаки производной на каждом из полученных промежутков;
 
- По знакам производной определите, на которых промежутках функция возрастает, а на каких спадает;
 
- Запишите соответствующие промежутки через точку с запятой.
 
Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.
 
Точка х0 называется точкой максимума функции F (x), если для всех значений аргумента х из некоторой окрестности точки х0 значение функции меньше или равны ее значению в точке х0.
 
Точка х0 называется точкой минимума функции F (x), если для всех значений аргумента х из некоторой окрестности точки х0 значение функции больше или равна ее значению в точке х0.
 
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума функции.
 
Значение функции в точке максимума называется максимумом функции. Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.
 
Минимумы и максимумы функции называются экстремумами функциями.
 
Если функция непрерывна в некоторой точке и в окрестности этой точки слева от нее производная функции положительная, а справа от нее отрицательная, то данная точка является точкой максимума функции.
 
Если функция непрерывна в некоторой точке и в окрестности этой точки слева от нее производная функции отрицательна, а справа от нее положительная, то данная точка является точкой минимума функции.
 
Обратите внимание! Не каждая критическая точка является точкой экстремума.
 
Чтобы исследовать функцию на экстремумы, найдите знаки производной на ее области определения, пользуясь схемой для исследования функции на монотонность. Определите, какие из критических точек являются точками экстремума.
 
Если необходимо найти экстремумы функции, найдите значение функции в точках экстремума.
 
Конечно график функции расположен вокруг точки соприкосновения с одной стороны от касательной. Если же в точке соприкосновения график функции переходит с одной стороны касательной на другую, то такие точки называются точками перегиба функции.
 
Для того чтобы график функции имел перегиб в некоторой точке, необходимо, чтобы вторая производная функции в этой точке равна нулю, или чтобы вторая производная в этой точке не существовала.

Лекция добавлена 28.02.2014 в 13:14:04