Целые числа. Решение задач

Натуральные числа - числа, которые используются ествественным образом при счете. Обычно тот факт, что число a является натуральным обозначают так - a ∈ N.

Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Это значит, что сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3,...), чисел вида -n (n ∈ N) и числа нуль. Обычно тот факт, что число a является целым обозначают так - a ∈ Z.

Делителем числа a (a ∈ Z) называется такое число q (q ∈ Z), на которое делится число aбез остатка. Т.е. a = bq (b ∈ Z).

Число p (p ∈ Z) называется простым, если оно делится лишь на 1 и на само себя.

Общим делителем чисел a и b (ab ∈ Z) называется число d (d ∈ Z), на которое делятся оба числа a и b.

Наибольшим общим делителем (НОД) чисел a и b (ab ∈ Z) называется их общий делитель d (d ∈ Z), который делится на любой другой общий делитель a и b. Например, НОД(4, 16) = 4.

Числа a и b (ab ∈ Z) являются взаимо простыми, тогда и только тогда, когда

НОД(a,b) = 1.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел a и b (ab ∈ Z) — это наименьшее натуральное число, которое делится на a и b. Например, НОК(6, 21) = 42.

Для любого a и b (ab ∈ Z) выполняется следующее соотношение: НОД(ab) ⋅ НСК(ab) = a ⋅ b.

 

 

Найти трехзначное число, записанное в десятичной системе в виде abc, равное полусумме чисел bca и cab.

_____________________________________________________________________________

Перепишем условие задачи и получим:

2(100a + 10b + c) = (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b),

что после превращения преобразуется в 7a = 3b + 4c, или 3(a - b) = 4(c - a). Отсюда следует, что a - b делится на 4, т.е. a - b = 4m. Из равенства 3(a - b) = 4(c - a) получаем, что ca = 3m. Сложив равенства a - b = 4m и c - a = 3m получаем c - b = 7m. Но |c - b| ≤ 9, а потому m может принимать лишь значения -1, 0, 1. Если m = 1, то из равенства c - b = 7mполучаем, что возможны лишь следующие случаи: 1) c = 7, b = 0; 2) c = 8, b = 1; 3) c = 9, b = 2. А так как c - a = 3m, то отсюда получаем для a значения 4, 5, 6. И числа-ответы: 407, 518, 629. Аналогично, при m = -1 находим числа 370, 481, 592. Наконец, при m = 0 получаем a -b = 4m = 0, c - a = 3m = 0, т.е. a = b = c. Получаем еще 9 чисел: 111, 222, ... ,999.

Ответ: 407, 518, 629, 370, 481, 592, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.

 

Найти четырехзначное число abca (в десятичной записи), равное (5c + 1)2.

________________________________________________________________

Учтем, что 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9; abc  Z и согласно условию запишем:

1001a + 100b + 10c = 25c2 + 10c + 1;

25c2 = 1001a + 100b - 1;

25c2 - 1000a - 100b = a - 1;

Левая часть равенства делится на 25, значит и a - 1 должно делится на 25. Единственный возможный вариант - a = 1. Тогда

25c2 - 100b = 1000;

c2 = 40 + 4b;

c = 2.

Корень из b + 10 должен быть целым числом, а, согласно ограничениям на b, это возможно лишь при b = 6. Значит c = 8. Искомое число 1681.

Ответ: 1681.

 

Пусть p - простое число. Доказать, что 8p2 + 1 - простое число, лишь при p = 3.

___________________________________________________________________

При p = 3, 8p2 + 1 = 73 - простое число. Докажем, что если p ≠ 3, то 8p2 + 1 - составное.

Из всех чисел кратным трем, лишь число 3 является простым. Пусть p не равно 3. Тогда p= 3k ± 1. Тогда 8p2 + 1 = 8(3k ± 1)2 + 1 = 8(9k2 ± 6k + 1) + 1 = 72k2 ± 48k + 9 = 3(24k2 ± 16k + 3). Т.е., если p = 3k ± 1, то 8p2 + 1 - составное. А значит лишь при p = 3, число 8p2 + 1 - простое.

Что и требовалось доказать.

 

 

Решить уравнение x2 - y2 = 93 в целых числах.

_______________________________________

Для решения данной задачи необходимо найти все пары целых чисел (xy), которые удовлетворяют условию или показать, что таких пар не существует.

Так как левая часть равенства можно разложить на множители, то резонно это сделать:

(x - y)(x + y) = 93;

Правая часть имеет восемь делителей: 1, 3, 31, 93, -1, -3, -31, -93, а потому может быть разложено на два целых множителя лишь восемью способами. А значит и уравнение имеет решения в восьми случаях:

Решив каждую из систем, получаем восемь пар решений исходного уравнения (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).

Ответ: пары чисел (xy) равны (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).

 

Решить уравнение xy + 3x - 5y = -3 в целых числах.

____________________________________________

В данном уравнение левая часть явно на множители не разлагается. Однако, мы можем к обоим частям добавить целые числа, чтобы разложить левую часть на множители:

x(y + 3) - 5y = -3;

x(y + 3) - 5y -15 = -18;

(x - 5)(y + 3) = 18.

Получаем следующие системы:

Решая их, получаем следующие ответы (xy) - (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).

Ответ: пары (xy) равны (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).

 

Решить уравнение 4x3 - 2y3 - z3 = 0 в целых числах.

___________________________________________

В данной задаче левая часть не разлагается на множители и, вообще, сложно найти преобразование, ведущее к решению этой задаче.

Остается исследовать свойства чисел, входящие в уравнение. Один из вариантов - метод бесконечного спуска.

В данном уравнении 4x3 и - 2y3 делятся на 2, значить и z3 должно делиться на 2. Обозначим z = 2z1, где z1 ∈ Z.

Подставляем в исходное уравнение, получаем:

4x3 - 2y3 - 23z13 = 0;

2x3 - y3 - 4z13 = 0.

Теперь мы видим, что 2x3 и - 4z13 делятся на 2. Значит и - y3 должно делится на 2. Обозначим y = 2y1, где y1 ∈ Z.

Тогда 2x3 - 23y13 - 4z13 = 0;

x3 - 4y13 - 2z13 = 0.

Отчего следует, что x3 делится на 2. Полагая, что x = 2x1, где x1 ∈ Z, получим:

23x13 - 4y13 - 2z13 = 0;

43x13 - 2y13 - z13 = 0.

Какие выводы можно сделать? Мы видим, что тройка (xyz) должна быть четная. Но при этом числа (x1y1z1), которые равны предыдущей тройке уменьшенной на 2, также удовлетворяют уравнению. Но раз так, значит и они должны делиться на 2.

Получается, что числа удовлетворяющие условию задачи должны быть четными, сколько бы раз мы их не делили на 2. Единственным четным числом, удовлетворяющим данное условие есть 0. Из чего делаем вывод, что решение данного уравнения одно x = y =z = 0.

Ответ: x = y = z = 0.

 

Найти остатки от деления квадрата целого числа на 3.

______________________________________________

Целое число x при делении на 3 может давать следующие остатки: 0, 1, 2. Рассмотрим все случаи:

Пусть x = 3k (k ∈ Z).

x2 = (3k)2 = 9k2. Т.е. остаток будет равен 0.

Пусть x = 3k + 1 (k ∈ Z).

x2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1. Видим, что первые два слагаемые делятся на 3, а третье дает остаток 1, потому и квадрат числа в данном случае будет давать остаток 1 при делении на 3.

Пусть x = 3k + 2 (k ∈ Z).

x2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 6k + 4. Видим, что первые два слагаемые делятся на 3, а третье также дает остаток 1, потому и квадрат будет иметь остаток равен 1 при делении на 3.

Мы перебрали все случаи и видим, что квадрат целого числа при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1.

Ответ: Остаток равен 0 или 1.

 

Первоисточник: easymath.com.ua

 


Лекция добавлена 17.08.2012 в 05:10:25