Теорема Виета. Примеры решения

В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).

14-06-47.jpg

Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна 14-06-48.jpg, а произведение корней равно 14-06-49.jpg
т. е. - 2. А для уравнения х2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. 
Доказательство теоремы Виета. Корни х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формулам

14-06-50.jpg

где D = b2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, 
получим

14-06-51.jpg



Теперь вычислим произведение корней х1 и х2 Имеем

14-06-52.jpg

Второе соотношение доказано: 14-06-53.jpg
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. 
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x1 = x2 = -p, x1x2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х1 и х2 — корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда

14-06-54.jpg

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

 

14-06-55.jpg

Доказательство. Имеем

14-06-56.jpg

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх2 - 10x + 3. 
Решение. Решив уравнение Зх2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх2 - 10x + 3: х1 = 3, х2 = 14-06-57.jpg
Воспользовавшись теоремой 2, получим 

14-06-58.jpg

Есть смысл вместо 14-06-59.jpg написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). 
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: 

Зх2 - 10x + 3 = Зх2 - 9х - х + 3 = 
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). 

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. 
Пример 1. Сократить дробь 

14-06-60.jpg

Решение. Из уравнения 2х2 + 5х + 2 = 0 находим х1 = - 2, 

14-06-61.jpg

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х1 = 6, х2 = -2. Поэтому 
х2- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). 
А теперь сократим заданную дробь:

14-06-62.jpg

Пример 3. Разложить на множители выражения: 
а)x4 + 5x2+6;               б)2x+14-06-63.jpg-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х2. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у2 + bу + 6. 
Решив уравнение у2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у2 + 5у + 6: у1 = - 2, у2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). 
Осталось вспомнить, что у = x2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, 
x4 + 5х2+ 6 = (х2 + 2)(х2 + 3). 
б) Введем новую переменную у = 14-06-63.jpg. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у2 + у - 3. Решив уравнение 
2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у2 + у - 3: 
y1 = 1,    y214-06-64.jpg. Далее, используя теорему 2, получим: 

14-06-65.jpg

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, 

14-06-66.jpg

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: 
если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, x1x2 = q, то эти числа — корни уравнения 
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х2 - 11х + 24 = 0. Здесь x1 + х2 = 11, х1х2 = 24. Нетрудно догадаться, что х1 = 8, х2 = 3.

2) х2 + 11х + 30 = 0. Здесь x1 + х2 = -11,  х1х2 = 30. Нетрудно догадаться, что х1 = -5, х2 = -6. 
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х2 + х - 12 = 0. Здесь x1 + х2 = -1, х1х2 = -12. Легко догадаться, что х1 = 3, х2 = -4. 
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х1 = 1 — корень уравнения. Так как х1х2 = -14-06-67.jpg, а х1 = 1, то получаем, что х2 = -14-06-67.jpg .

5) х2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х1+ х2 = 293, х1х2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х1 = 283, х2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х1 = 8, х2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0. 
Имеем х1+ х2= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х1х2= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х2-4х-32 = 0. 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:41:02