Рациональные уравнения

 

1. Алгоритм решения рационального уравнения

Напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением. 

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения. 

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно- 
му, но и к квадратному уравнению. 

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения. 

Пример 1. Решить уравнение 

13-06-54.jpg
 

Решение. Перепишем уравнение в виде

13-06-54.jpg = 0

При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член 13-06-55.jpg в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

13-06-56.jpg


Вспомним условия равенства дроби нулю:13-06-57.jpg тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля 13-06-58.jpg). 
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

13-06-59.jpg

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение 13-06-58.jpg означает для уравнения (1), что 13-06-60.jpg. Значения х1 = 2 и х2 = 0,6 
указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения. 
Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают. 
Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.


Алгоритм решения рационального уравнения

13-06-69.jpg


Пример 2. Решить уравнение

13-06-68.jpg

Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом. 
1) Преобразуем уравнение к виду

13-06-63.jpg

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

13-06-64.jpg

(одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе 
дроби). 
Таким образом, заданное уравнение принимает вид

13-06-65.jpg

3) Решим уравнение х2 - 6x + 8 = 0. Находим

13-06-66.jpg

4) Для найденных значений проверим выполнение условия 13-06-67.jpg. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень. 
О т в е т: 4.

2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение х4 + х2 - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х2. Так как х4 = (х2)2 = у2, то заданное уравнение можно переписать в виде

у2 + у - 20 = 0.

Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у1 = 4, у2 = - 5. 
Но у = х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений: 
x2=4; х2=-5.

Из первого уравнения находим 13-06-70.jpg  второе уравнение не имеет корней. 
Ответ: 13-06-71.jpg
Уравнение вида ах4 + bx2 +c  = 0 называют биквадратным уравнением («би» —  два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение ). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х2, решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.

Пример 4. Решить уравнение

13-06-72.jpg

Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упроща 
ется, и структура уравнения становится более ясной):

13-06-73.jpg

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.

1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:

13-06-73.jpg = 0
12 7 
2) Преобразуем левую часть уравнения

13-06-74.jpg

Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду

13-06-75.jpg

3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4 = 0 находим у13-06-76.jpg (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).

4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1)13-06-77.jpg. Оба корня этому условию удовлетворяют. 
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: 13-06-78.jpg
Поскольку у = х2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и 13-06-79.jpg , — нам еще предстоит решить два уравнения: х2 + Зх = 4; х2 + Зх = 13-06-79.jpg . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа

13-06-80.jpg

В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой 
буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример 5. Решить уравнение 
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24. 
Решение. Имеем 
х(х - 3) = х2 - 3х; 
(х - 1)(x - 2) = x2-Зx+2.

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

(x2 - 3x)(x2 + 3x + 2) = 24

Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх. 
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. 
Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два уравнения х2 - Зх = 4 и х2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х1 = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней. 
О т в е т: 4, — 1.


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:37:48