Квадратное уравнение. Теория

 

Ключевые слова: уравнение, квадратное уравнение, квадратичный трехчлен, дискриминант, корни уравнения, разложение на линейные множители, неполное квадратное уравнение, теорема Виета, приведенное и неприведенное квадратное уравнение,

Уравнение вида ax+ bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, причем 

a=0

 


называют квадратным уравнением.

 

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; 
если 

a=1

 

, - то неприведенным. 
Числа a, b, c носят следующие названия 
a - первый коэффициент, 
b - второй коэффициент, 
c - свободный член.

 

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D < 0то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0то уравнение имеет один действительный корень; 
если D > 0то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Если в квадратном уравнении ax+ bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Пример 1: Решить уравнение 2x2 - 5x = 0. Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
Пример 2: Решить уравнение 3x2 - 27 = 0. Имеем 3x2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

 

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1 + x2 = -p , x1 x2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Биквадратным называется уравнение вида ax+ bx2 + c = 0, где 

a=0

 

.

 

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y
придем к квадратному уравнению ay2 + by + c = 0.

Пример 3: Решить уравнение x4 + 4x2 - 21 = 0
Пусть x2 = y, получим квадратное уравнение y2+ 4y - 21 = 0, откуда находим y1 = -7, y2 = 3. 
Теперь задача сводится к решению уравнений x= -7, x2 = 3. 
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим x1=   3

 и 

x2=   3 

 которые являются корнями заданного биквадратного уравнения

 

Итак, коротко о квадратном уравнении:

 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 06:04:25