Графическое решение квадратных уравнений

 

С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а 12-06-1.jpg. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0. 
Решение. 
I способ. Построим график функции у = х2 - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:

1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = 12-06-2.jpg = 1, у0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = - 1, х2 — 3.

II способ. Преобразуем уравнение к виду х2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у — х2 и у = 2х + 3 (рис. 69). Они пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х1 = - 1, х2 — 3.

 

12-06-3.jpg


III способ. Преобразуем уравнение к виду х2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х2- 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х1 = - 1, х2 = 3.

IV способ. Преобразуем уравнение к виду х2-2х 4-1-4 = 0 
и далее 
х2 - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4. 
Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1)2 и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х1 = -1, х2 = 3.

V способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

12-06-4.jpg

 

12-06-5.jpg

 

12-06-6.jpg

Построим в одной системе координат гиперболу 12-06-7.jpg и прямую у = х - 2 (рис. 72).

Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х1 = - 1, х2 = 3. 

Итак, квадратное уравнение х2 - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.

I способ. Строят график функции у точки его пересечения с осью х.

II способ. Преобразуют уравнение к виду ах2 = -bх - с, строят параболу у = ах2 и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

III способ. Преобразуют уравнение к виду ах2 + с = - bх,строят параболу у — ах2 + с и прямую у = -bх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду

а (х + l)2 + m = О 
и далее 
а (х + I) = - m

Строят параболу у = а (х + I)2 и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.

V способ. Преобразуют уравнение к виду

 

12-06-8.jpg

Строят гиперболу 12-06-9.jpg (это — гипербола при условии, что 12-06-10.jpg) и прямую у = — ах — b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах2 + bх + с = 0, а пятый — только к тем, у которых с 12-06-10.jpg. На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен).

Замечание. Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы 
сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х2 - х - 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в 
рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х2= х + 3, построим параболу у = х2 и 
прямую у = х + 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 73), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа 
сказать не можем — точки А и В имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение 
х2- 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х2 — 95 = 16х. Здесь надо построить параболу 
у = х2 - 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х2 надо опустить на 95 клеток вниз.

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтем это в далнейшем. 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:30:11