Формулы корней квадратных уравнений

 

Пусть дано квадратное уравнение ах+ bх + с = 0. 
Применим к квадратному трехчлену ах2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола. 
Имеем

13-06-15.jpg

Обычно выражение b2 - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

13-06-16.jpg

Значит, квадратное уравнение ах2 + их + с = О можно переписать в виде

13-06-17.jpg

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

13-06-18.jpg

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение 2x2 + 4х + 7 = 0. 
Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7, 
D = b2-4ac = 42427 = 16-56 = -40. 
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

13-06-18.jpg

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид

13-06-19.jpg   — единственный корень уравнения.

Замечание 1. Помните ли вы, что х = - 13-06-20.jpg — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах2 + их + с? Почему именно это 
значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах2 + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

13-06-21.jpg

Графиком же функции 13-06-22.jpg является парабола с вершиной в точке 13-06-23.jpg (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

 

13-06-24.jpg


Пример 2. Решить уравнение 4x2 - 20x + 25 = 0. 
Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b2 - 4ас = (-20)2 - 4 • 4 • 25 = 400 - 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

13-06-25.jpg

Ответ: 2,5. 

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х2 - 20х +25 — полный квадрат: 4х2 - 20х + 25 = (2х - 5)2
Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х - 5)2 = 0, значит, 2х - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то

ах2 + bх + с = 13-06-26.jpg — это мы отметили ранее в замечании 1. 
Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bх +  с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам

 

13-06-27.jpg

Доказательство. Перепишем квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 в виде (1)

13-06-28.jpg

Положим 13-06-29.jpg
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

13-06-30.jpg

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

13-06-31.jpg

Замечание 3. В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое 
понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше- 
ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3. Решить уравнение Зх2 + 8х - 11 = 0. 
Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = - 11, 
D = b2 - 4ас = 82 - 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196. 
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

13-06-32.jpg

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

Правило решения уравнения 
ах2 + bх + с = 0

13-06-33.jpg

Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.

Пример 4. Решить уравнения:

а) х2 + Зх - 5 = 0;            б) - 9x2 + 6х - 1 = 0;            в) 2х2-х + 3,5 = 0.

Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, b = 3, с = - 5, 
D = b2 - 4ас = З2 - 4 • 1 • (- 5) = 9 + 20 = 29.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3)

13-06-34.jpg

б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим

9x2 - 6x + 1 = 0. 
Здесь а = 9, b = -6, с = 1, D = b2 - 4ас = 36 - 36 = 0. 
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = - 13-06-35.jpg. Значит, 
13-06-36.jpg
Это уравнение можно было решить по-другому: так как 
2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, то получаем уравнение (Зх - I)2 = 0, откуда находим Зх - 1 = 0, т. е. х =13-06-37.jpg .

в) Здесь а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = b2 - 4ас = 1 - 4 • 2 • 3,5= 1 - 28 = - 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математики — люди практичные, экономные. Зачем, говорят они, пользоваться таким длинным правилом решения квадратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:

13-06-38.jpg

Если окажется, что дискриминант D = b2 - 4ас — отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем

13-06-39.jpg

т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня:

13-06-40.jpg

Наконец, если окажется, что b2 - 4ас > 0, то получаются два корня х1и х2, которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше.

Само число 13-06-41.jpg в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х1 ) это положительное число прибавляется к числу - b, а в другом случае (при отыскании х2) это положительное число вы-
читается из числа - b.

У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше правило; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы.

Пример 5. Решить уравнения: 
13-06-42.jpg

Решение, а) Конечно, можно использовать формулы (4) или (3), учитывая, что в данном случае 13-06-43.jpg Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим

13-06-44.jpg
откуда 8х2 + 10x - 7 = 0.

А теперь воспользуемся формулой (4)

13-06-45.jpg

б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, b = - 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами: 
300x2 - 20x + 277 = 0. 
Далее воспользуемся формулой (4):

13-06-46.jpg

Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 6. Решить уравнение 13-06-47.jpg
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле (4).

Имеем а = 5, b = -13-06-48.jpg, с = 1, D = b2 - 4ас = (- 13-06-48.jpg2 - 4 • 5 • 1 = 60 - 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3)

13-06-49.jpg


Пример 7. Решить уравнение 
х2 - (2р + 1)x +(р2+р-2) = 0

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения. 
Найдем дискриминант:

13-06-50.jpg

Пример 8. Решить уравнение рx2 + (1 - р) х - 1 = 0. 
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда 
уравнение примет вид 0 • x2+ (1-0)x- 1 = 0, т. е. х - 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что 13-06-51.jpg, то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

13-06-52.jpg

13-06-53.jpg


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:36:30