Еще одна формула корней квадратного уравнения

 

Мы с вами уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формуле

14-06-37.jpg

(если, конечно, дискриминант D = b2 — 4ас — неотрицательное число; если же D < О, то приведенная формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней). 
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что формулу (1) можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если Ъ есть четное число. 
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О 
коэффициент Ъ имеет вид Ъ — 2k. Подставив в формулу (1) число 2k вместо b, получим:

14-06-38.jpg

Итак, корни квадратного уравнения ах2 + + 2kx + с = О можно вычислять по формуле

14-06-39.jpg
Сравните эту формулу с формулой (1). В чем ее преимущества?

Во-первых, в квадрат возводится не число b, а его половина 14-06-40.jpg

Во-вторых, вычитается из этого квадрата не 4ас, a просто ас.

В-третьих, в знаменателе содержится не 2а, а просто а. Как видите, по крайней мере в трех моментах мы облегчаем себе выкладки. Особенно приятно выглядит формула (2) для приведенного квадратного уравнения, т. е. для случая, когда а = 1. Тогда получаем

14-06-41.jpg

Это — формула корней уравнения х2 + 2kx + с — 0. 
Вернемся к предыдущему параграфу и еще раз решим некоторые из имеющихся там квадратных уравнений — для сравнения трудоемкости вычислений по старой формуле (формуле (1)) и по новой формуле (формуле(2) или (3)). 
В примере 1 из § 22 получилось квадратное уравнение х2 + 10x - 7200 = 0. 
Мы решали его так:

14-06-42.jpg

А теперь решим то же квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = 10, т. е. 2k = 10, k = 5. Имеем

14-06-43.jpg

В примере 3 из § 22 было получено квадратное уравнение 
х2 - 92х + 960 = 0. 
Мы решали его так:

14-06-44.jpg

А теперь решим это квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = - 92, т. е. 2k = - 92, k = - 46. 
Имеем

14-06-45.jpg

Думается, что преимущества новой формулы вы оценили. 
В заключение параграфа рассмотрим еще одно квадратное уравнение, которое мы решали по старой формуле (см. пример 6 из § 20), а теперь решим по-новому. Речь идет об уравнении

14-06-46.jpg

Сравните этот вариант решения с тем, который был предложен в § 20. Согласитесь, что так работать проще. 
Итак, если вам встретилось квадратное уравнение вида ах2 + 2kx + с = 0, то советуем пользоваться формулой (2) (или (3), в случае, когда а = 1), поскольку вычисления будут проще. Но если вы опасаетесь запутаться в обилии формул, то пользуйтесь привычной общей формулой корней квадратного уравнения. 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:39:52