Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

Построим в одной системе координат графики функций у — х2(черная линия на рис. 43) и у = х2 + 4. Составим таблицу значений функции у = х2 + 4: 

 

x 0 1 -1 2 -2
y 4 5 5 8 8


Построив точки (0; 4), (1; 5), (-1; 5), (2; 8), (-2; 8) на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим параболу (цветная линия на рис. 43). Обратите внимание — это точно такая же парабола, как и у = х2, но только сдвинутая вдоль оси у на 4 единицы масштаба вверх. Вершина параболы теперь находится в точке (0; 4), а не в точке (0; 0), как для параболы у = х2. Осью симметрии по-прежнему служит прямая х = 0, как это было и в случае 

параболы у = х2
Если же построить в одной системе координат графики функций у = х2 и у = х2-2 (рис. 44), то заметим, что второй график получается из первого сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 2 единицы масштаба вниз. 

Точно так же обстоит дело и с графиками других функций. Например, график функции у = 2х2 - 3 — парабола, которая получается из параболы у = 2х2 сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 3 единицы масштаба вниз (рис. 45). 

11-06-147.jpg



Вообще, справедливо следующее утверждение: чтобы построить график функции у = f(x) + mт, где т — заданное положительное число, надо сдвинуть график функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба вверх; чтобы построить график функции у = f(x) - m, где m — заданное положительное число, надо сдвинуть график функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба вниз. 

Между прочим, этот результат не является для вас абсолютно новым. Вспомните, как обстояло дело с графиками функций у = kx и у = kx + m: это — две параллельные прямые, одна из которых (у = kx) проходит через начало координат, а другая {у = kx + m) проходит через точку (0; m), т. е. фактически по- 
лучена из первой прямой сдвигом вдоль оси у на т единиц (рис. 46).

Пример 1. Построить график функции у = -2х2 + 5.

Решение. Построив параболу у = - 2х2 и сдвинув ее 
вдоль оси у вверх на 5 единиц, получим график функции у = - 2х2 + 5 (рис. 47).

 

11-06-148.jpg

Пример 2. Построить график функции 11-06-149.jpg - 2
Решение. Построив гиперболу 11-06-149.jpg и сдвинув ее вдоль оси у вниз на 2 единицы, получим график функции 11-06-149.jpg - 2 (рис. 48). Обратите внимание, что и горизонтальная асимптота гиперболы сдвинулась на 2 единицы вниз: для гиперболы 11-06-149.jpg асимптотой служила ось х (прямая у = 0), а для гиперболы11-06-149.jpg - 2 асимптотой служит прямая у = -2.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 3 - 2х2 на отрезке [-2, 1].

Решение. Построим график функции у = 3 - 2х2 и выделим его часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 49). Замечаем, что унанм = - 5 (достигается при х = - 2),

а унаиб. = 3 (достигается при х = 0).

Ответ: унаим. = - 5; унаиб. = 3.

Пример 4. Решить уравнение 11-06-150.jpg = х2 + 1. 
Решение. 1) Рассмотрим две функции:

y =11-06-150.jpg  и y =х2 + 1.

2) Построим график функции 11-06-154.jpg гиперболу (рис. 50). 
3) Построим график функции у = х2 + 1. Это — парабола, которая изображена на том же чертеже (рис. 50).

4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и парабола пересекаются в точке А(1; 2). Проверка показывает, что на самом деле точка А(1; 2) принадлежит и тому и другому графику. Уравнение имеет единственный корень х = 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Построить и прочитать график функции 
у = f(x), где

11-06-151.jpg

Решение. Сначала построим параболу у = (х + 2)и выделим ее часть на отрезке [-4, 0] (рис. 51). Затем построим параболу у = 4 - х2 и выделим ее часть на открытом луче (0, +оо) (рис. 52). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — получим график функции y = f(х)(рис. 53). 
Перечислим свойства функции у = f(х), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции — луч [—4, + оо). 
2. у = 0 при х = - 2 и при х = 2; у > 0 при -4<х<-2 и при -2<х<2;у<0 при х > 2.

 

11-06-152.jpg

11-06-153.jpg


3. Функция убывает на промежутках [—4, —2] и [0, + оо), возрастает на отрезке [-2, 0]. 
4. Функция ограничена сверху, но не ограничена снизу.

5- yнанм. не существует; yнаиб = 4 (достигается при х = - 4 и при х = 0).

6. Функция непрерывна в заданной области определения.


Замечание. По сути дела, в этом параграфе речь шла о построении графика функции у = f (x) + m, где m — любое число, как положительное, так и отрица- 
тельное. Вы, наверное, заметили, что, думая, на сколько единиц масштаба надо сдвинуть вдоль оси у график функции у = f(x), мы не обращали 
внимания на знак числа m; график сдвигался в действительности вверх или вниз на | m I единиц. А вот направление сдвига как раз и определялось 
знаком числа m при т > 0 график сдвигался вверх, а при т < 0 — вниз. 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:27:31