Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)

 

КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(x + I) + m, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f{x)


График функции у = f(x + 1) + т можно получить из графика функции у — f{x) последовательным применением тех преобразований, о которых мы говорили в § 10 и 11. 
Пример 1. Построить график функции у = (х - 2)2 - 3.

Решение. Осуществим построение по этапам.

Первый этап. Построим график функции у — х(пунктирная линия на рис. 54).

Второй этап. Сдвинув параболу у = х2 на 2 единицы вправо, получим график функции у = (х - 2)2 (сплошная черная линия на рис. 54).

Третий этап. Сдвинув параболу у = (х - 2)2 на 3 единицы вниз, получим график функции у = (х - 2)2 - 3 (цветная линия на рис. 54).

Замечание. Математику, который привык быть экономным в своих действиях, такое решение не очень понравится, хотя оно абсопютно правильное.

Он спросит: зачем мне строить три графика, когда я могу обойтись построением только одного графика? Ведь фактически графиком функции у =  (х - 2)2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х2, только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; —3).

Поэтому, продолжит математик, я сделаю так: перейду к вспомогательной системе координат с началом в точке (2; -3). Для этого построю (пунктиром) прямые х = 2 и у=-3 (рис 55). В этой вспомогательной системе координат воспользуюсь шаблоном параболы у = х2 (математики обычно в таких случаях выражаются по-другому, они говорят: «привяжем функцию у = х2 к новой системе координат») и получу в итоге требуемый график ( рис.56)

 

11-06-155.jpg



Попробуем воспользоваться советом математика при решении следующего примера.

Пример 2. Построить график функции у = - 2(х + З)2 + 1.

Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-3; 1) (пунктирные прямые х = -3, у = 1 на рис. 57).

11-06-156.jpg

2) Привяжем функцию у = - 2х2 к новой системе координат. Как это сделать? Например, так. Выберем контрольные точки для графика функции у = - 2х2, например (0; 0), (1; -2), (-1; -2), (2; -8), (-2; -8), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 57). Затем через 
полученные точки проведем параболу; это и есть требуемый график (рис. 58).

11-06-157.jpg
Итак, мы получили два алгоритма построения графика функции у = f (х + I) + ь.

 

11-06-158.jpg


Пример 3. Построить график функции у = х2 - 4х + 5.

Решение. Вы, наверное, подумали, какое отношение имеет этот пример к тем преобразованиям графиков, которые 1 мы обсуждаем? Оказывается, самое прямое. Чтобы убедиться в этом, применим к трехчлену x2 - 4х + 5 метод выделения полного квадрата ? (он знаком вам из курса алгебры 7-го класса).

Имеем х2 - 4х + 5 = (х2 - 4х + 4) + 1 = (х - 2)2 + 1.

Для построения графика функции у = (х — 2)2 + 1 перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (2; 1) (пунктирные прямые x = 2 и у = 1 на рис. 59). Привяжем функцию у = х2 к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции у = х2, например: (0; 0), 
A; 1), (- 1; 1), (2; 4), (- 2; 4), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 59).

По этим точкам построим параболу; это и есть требуемый график (рис. 60).

11-06-159.jpg


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:28:30