Функция у = k/x, ее свойства и график

 

В этомй лекции мы познакомимся с новой функцией — функцией 11-06-110.jpg Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции 11-06-111.jpg.

Чтобы построить график функции 11-06-111.jpg, поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe 11-06-111.jpg) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения 
постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой 11-06-111.jpg );

11-06-112.jpg

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

11-06-113.jpg

Второй этап.

11-06-114.jpg

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

11-06-115.jpg


А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции 11-06-111.jpg  его называют гиперболой. 
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),

11-06-116.jpg и т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

11-06-117.jpg

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции 11-06-111.jpg, т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки 11-06-118.jpg расположены по разные стороны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках 11-06-119.jpg , где, конечно 11-06-120.jpg Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы 11-06-111.jpg ( равно как и y = -x)

 

 

11-06-121.jpg

  
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 11-06-111.jpg а) на отрезке 11-06-122.jpg; б) на отрезке [- 8, - 1]. 
Решение, а) Построим график функции 11-06-111.jpg и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка 11-06-122.jpg (рис. 30). Для выделенной части графика находим:

11-06-123.jpg

б) Построим график функции 11-06-111.jpg и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:

11-06-124.jpg


11-06-125.jpg


Итак, мы рассмотрели функцию 11-06-126.jpg для случая, когда k= 1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1, например k = 2.

Рассмотрим функцию 11-06-127.jpg и составим таблицу значений этой функции:

11-06-128.jpg


Построим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1), 11-06-129.jpg

11-06-130.jpg

на координатной плоскости (рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции 11-06-111.jpg
эту линию называют гиперболой.

Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции 11-06-111.jpg (здесь k = - 1).

11-06-131.jpg

В предыдущем параграфе мы отметили, что график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х. В частности, это значит, что график функции y = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график функции  11-06-132.jpg  , симетричен графику 11-06-111.jpgодносительно оси абсцисс ( рис. 34) Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах.

11-06-133.jpg

Вообще, графиком функции 11-06-134.jpg является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < О (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.

Обычно говорят, что две величины х и у обратно пропорциональны, если они связаны соотношением ху = k (где k — число, отличное от 0), или, что то же самое, 11-06-135.jpg. По этой причине функцию 11-06-135.jpg называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией у - kx, которую, как вы, наверное, 
помните, называют прямой пропорциональностью); число k — коэффициент обратной пропорциональности. 

Свойства функции 11-06-135.jpg при k > 0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель— гиперболу (см., рис. 33).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.

3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и (0, +°°).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0. 

Свойства функции 11-06-135.jpg при k < 0 
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 34).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.

3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0. 

Пример 2. Решить уравнение 11-06-136.jpg

Решение. 
1) Рассмотрим две функции: 11-06-137.jpg и у = 5 - х.
2) Построим график функции 11-06-137.jpg  гиперболу (рис. 35). 
3) Построим график линейной функции Это — прямая, ее можно построить по двум точкам (0; 5) и (5; 0). Она изображена на том же чертеже (рис. 35).

 

11-06-138.jpg


4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка показывает, что это на самом деле так. 
Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и 4 — это абсциссы точек А и Б. 
Ответ: 1,4.

Пример 3. Построить и прочитать график функции у = f(x), где

11-06-139.jpg


Решение. Построение графика, как обычно в таких случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = - х2 и выделим ее часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 36).

Затем построим гиперболу у и выделим ее часть на открытом луче (1, +оо) (рис. 37). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — получим график функции у = f(x) (рис. 38).

11-06-140.jpg

Перечислим свойства функции у = f(x), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции — луч [-2, +оо).

2. у = 0 при х = 0; у < 0 при - 2 < д; < 0 и при я > 0.

3. Функция возрастает на промежутке [-2, 0] и [1, +оо), убывает на отрезке [0, 1].

4. Функция ограничена и снизу и сверху.

5. унаим = - 4 (достигается при х = - 2); yнаиб = 0 (достигается при х = 0).

6. Функция непрерывна в заданной области определения.

11-06-141.jpg

(И В заключение рассмотрим пример, считающийся достаточно сложным.

11-06-142.jpg

Значит, f(x - 3) - f(x + 2) = 2,5f (х - 3) . f(х + 2), что и требовалось доказать. 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:25:25