Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

 

Рассмотрим многочлен ах2 + bх + с, где а, b, с — числа (коэффициенты), причем а 11-06-160.jpg. Его обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен ах2 называют старшим членом квадратного трехчлена, а коэффициент а — старшим коэффициентом.

Функцию у = ах2 + bх + с, где а, b, с — произвольные числа, причем а 11-06-160.jpg, называют квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена  ах2 +bх + с содержит х в квадрате.

Опираясь на результаты, полученные выше, мы с вами сможем построить график любой квадратичной функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.

Пример 1. Построить график функции у = - bх2 - 6х + 1.

Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене -bх2 - 6х + 1. Имеем 
-Зх2 - вх + 1 = -3(х2 + 2х) + 1 = -3((х2 + 2х + 1) - 1) + 1 =  - 3 ((x + I)2 - 1) + 1 = - 3 (х + I)2 + 3 + 1 = - 3 (х + I)2 + 4.

Для построения графика функции у = -3(х + I)2 + 4 перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые х = -1 и у = 4 на рис. 61).

Привяжем функцию у = - Зх2 к новой системе координат.

С этой целью выберем контрольные точки для функции у = - Зх2, например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим параболу — получим требуемый график (рис. 62).

Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к виду а(х + I)2 + m и использовали алгоритм 2 из §12 (заметим, что с равным успехом мы могли бы использовать и алгоритм 1 — кому что  нравится). Оказалось что графиком функции  у = -Зх2- 6x = 1 является парабола которая получается из параболы у = -Зх2 параллельным переносом А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком функции

у = х2 - 4x+ 5 так же является парабола; она получается из параболы у = х2 параллельным переносом. Оказывается график любой квадратичной функции

у = ах2+ bх + с можно получить из параболы у = ахпараллельным переносом, причем для доказательства этого факта используется та же идея — выделение полного квадрата.

11-06-161.jpg

Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем

11-06-162.jpg

11-06-162.jpg

Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен ах2 + bх + с к виду а(х + I)2 + m ,где11-06-163.jpg

Чтобы построить график функции у = а(х + I)2 + m, нужно выполнить параллельный перенос параболы у = ах2 так, чтобы вершина параболы оказалась в точке (-l; m) (рис. 63). Теорема доказана.


11-06-164.jpg
Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы у = ах2 + bх + с служит точка (-l; m). Осью параболы является прямая х = -l, т. е. 11-06-165.jpg
Итак, осью параболы у = ах2 + bх + с служит прямая 11-06-165.jpg; абсцисса х0 вершины параболы у = ах2 + bх + с вычисляется по формуле

11-06-166.jpg

Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле у0 = m, т.е. 11-06-167.jpg

Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса х0, то ординату у0 всегда можно вычислить по формуле 
y0= f(х0 ), где f(х) =ax2 + bx = c,

Пример 2. Не выполняя построения графика функцииy = - 3x2 - 6 = 1 ответить на следующие вопросы:

а) Какая прямая служит осью параболы?

б) Каковы координаты вершины параболы?

в) Куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы?

Решение, а) Здесь а = - 3, b = - 6. Уравнение оси параболы 11-06-168.jpg 
б) Абсцисса х0 вершины параболы нам уже известна: х0 = - 1. Ординату у0 найдем по формуле у0 = f(x0), где f(x) = -bх2 - 6х + 1. 
Имеем 
Уо = f(xо) = f(- 1) = - 3(- I)2 - 6(- 1) + 1 = 4. 
Итак, вершиной параболы служит точка (- 1; 4). 
в) Парабола у = - 3х2 - 6х + 1 получается параллельным переносом параболы у = -Зх2. Ветви параболы у = -Зх2направлены вниз (поскольку коэффициент при х2 отрицателен), значит, и у параболы у = - Зх2 - 6х + 1 ветви направлены вниз.
Замечание. Сравните примеры 1 и 2. Речь в них идет об одной и той же параболе, но в примере 1 мы ее построили, а в примере 2 строить параболу было 
не нужно. Проверьте по рис. 62 правильность ответов на вопросы примера 2. Для любой функции вида у = ах2 + bх + с можно ответить на поставленные в примере 2 вопросы, не строя параболу — график функции. Легче всего ответить на вопрос, куда направлены ветви параболы:

ветви параболы у = ах2 + bх + с направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0.

Несколько сложнее найти уравнение оси параболы: 11-06-169.jpg (сложнее, поскольку приходится немного посчитать). И еще сложнее (требуется больше вычислений) находятся координаты вершины параболы: абсциссой является число 11-06-170.jpg а ордината у0 вычисляется по формуле у0 = f(x0), где f(x) = ах2 + bх + с, 4ас-b
или по формуле 11-06-171.jpg
ПримерЗ. Построить график функции у = 2х2 - 6х + 1.

Решение. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку старший коэффициент 2 — 
положительное число. Найдем координаты вершины параболы. 
Имеем а = 2, b = -6;

11-06-172.jpg
y0 =f(x0) = f (1,5), где f(x) = 2х2 -6х + 1. Значит, у0 = f(1,5) = 2 • 1,52 - 6 • 1,5 + 1 =  -3,5.

На рис. 64 отмечена точка (1,5; - 3,5) — вершина искомой параболы, проведена ось параболы. Чтобы построить саму параболу, поступим  так: возьмем на оси х две точки, симметричные  относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 3; вычислим значения функции в этих точках, учтя, что f (0) =f(3). Имеем f(0) = 1, значит, и f(3) = 1. Точки (0; 1) и (3; 1) отмечены на рис. 64. А теперь, зная три точки, построим искомую параболу (рис. 65)

 

11-06-173.jpg
Фактически мы получили алгоритм построения графика квадратичной функции. Оформим его. 

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с 
1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось 
параболы. 
2. Отметить на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку х = 0), найти значения 
функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки. 
3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных от- 
носительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам). 

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значенияфункции у = - 2х2 + 8x - 5 на отрезке [0, 3]. 
Решение. 
Первый этап. Построим параболу, служащую графиком заданной функции. Воспользуемся алгоритмом. 
1) Имеем 
11-06-174.jpg
Значит, вершиной параболы служит точка (2; 3), а осью параболы — прямая х = 2 (рис. 66). 
2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 4. Имеем f(0) =f(4) = = -5; построим на координатной плоскости точки (0; - 5) и (4; - 5) (рис. 66). 
11-06-175.jpg

3) Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67). 
Второй этап. Выделим часть построенного графика на отрезке [0, 3]. Замечаем (см. выделенную часть параболы на рис. 67), что унаим. = - 5 (достигается при х = 0), а yнаиб. = 3 (достигается при х = 2). 

11-06-176.jpg


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:29:23