Функция у = √х , ее свойства и график

 

Для построения графика функции 12-06-52.jpg дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение 12-06-53.jpg не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня. Итак:

12-06-54.jpg

Итак, мы составили таблицу значений функции:

x 0 1 4 6,25 9
y 0 1 2 2,5 3


Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции 12-06-52.jpg . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х2, можно без труда с его помощью построить график функции 12-06-52.jpg , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

12-06-55.jpg

                                                    Свойства функции 12-06-52.jpg
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель — ветвь параболы (рис. 79).

1. Область определения функции — луч [0, +оо). 
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0. 
3. Функция возрастает на луче [0, + оо). 
4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху. 
5. унаим. = 0 (достигается при х = 0), унаи6 не существует. 
6. Функция непрерывна на луче [0, +оо).

Комментариев требует лишь свойство 4. Почему мы считаем, что функция не ограничена сверху? Возьмем, например, число 10. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполнено неравенство 12-06-53.jpg > 10? Конечно, достаточно взять х = 121, ведь 12-06-56.jpg = 11, а 11 > 10. Возьмем число 40. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполняться неравенство 12-06-53.jpg > 40? Конечно, достаточно взять х = 2500, ведь 12-06-57.jpg = 50, а 50 > 40. И вообще, какое бы 
положительное число т ни взять, всегда найдется такое х, что будет выполняться неравенство 12-06-53.jpg > m (достаточно взять х = (m + 1)2; подумайте, почему это так). 
А теперь обратим внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции: у = 12-06-53.jpg (ее график изображен на рис. 79) и у = х2, где х> 0 (ее график изображен на рис. 80). Мы только что перечислили шесть свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково. Они обнаружили принципиальные различия в характере графиков, заметив, что график функции 12-06-52.jpg обращен выпуклостью вверх, тогда как 
график функции у = х2, где х > 0, обращен выпуклостью вниз.

12-06-58.jpg

Обычно говорят, что функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 81); функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 82). 
Свойство выпуклости будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика. 
Функция у = f (х)у где f (х) =12-06-53.jpg , принимает любые неотрицательные значения. В самом деле, какое бы конкретное значение у > 0 ни задать, всегда найдется такое х, что выполняется равенство f (х) = у, т.е. 12-06-53.jpg = у; для этого достаточно положить х = у2. Множество всех значений функции называют обычно областью  значений функции. Для функции у =12-06-53.jpg областью значения значений является луч [0, + оо). Это, кстати, хорошо  читается по графику функции (рис. 79). Если спроецировать график на ось у, как раз и получится луч [0, + оо ).

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 12-06-53.jpg на отрезке: 
а) [0, 4]; б) [1, 5]. 
Решение, а) Построим график функции у = 12-06-53.jpg и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 83). Замечаем, что Унаим. = 0 (достигается при х = 0), а унаи6 = 2 (достигается при х = 4).

б) Построим график функции у = 12-06-53.jpg и выделим его часть на отрезке [1, 5] (рис. 84). Замечаем, что унаим = 1 (достигается при х = 1), а унаиб = 12-06-22.jpg (достигается при х = 5). 
О т в е т: а) унаим. = 0; унаиб = 2; б) унаим. = 1; ушиб = 12-06-22.jpg

12-06-59.jpg

 

12-06-60.jpg


Пример 2. Решить уравнение 12-06-53.jpg = 6 - х. 
Решение. 1) Рассмотрим две функции у = 6 - x и y = 12-06-53.jpg 
2) Построим график функции у = 12-06-53.jpg (рис. 85). 
3) Построим график линейной функции у = 6 - х. 
Это — прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Прямая изображена на том же чертеже (рис. 85). 
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А (4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2) удовлетворяет и уравнению у = 12-06-53.jpg и уравнению у = 6 - х. 
Это значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень 4 — это абсцисса

точки А. 
Ответ: 4. 
Пример 3. Построить график функции 12-06-61.jpg
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = - 2 на рис. 86). 

12-06-62.jpg
2) Привяжем функцию у = 12-06-53.jpg к новой системе координат. 
Для этого выберем контрольные точки для функции у = 12-06-53.jpg. , например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 86). Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, — это и есть требуемый график (рис. 87).

Пример 4. Построить и прочитать график функции y = - 12-06-53.jpg
Решение. Выше, в § 8, мы заметили, что график функции у = - f (х) получается из графика функции у = f (x) с помощью преобразования симметрии относительно оси х. 
Воспользовавшись этим, построим график функции у = 12-06-53.jpg и 
отобразим его симметрично относительно оси х (рис. 88). Это и 
будет график функции у = - 12-06-53.jpg . 
Перечислим свойства функции у = - 12-06-53.jpg (по графику): 
1. Область определения функции — луч [0, + оо). 
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при х > 0.

12-06-63.jpg

3. Функция убывает на луче [0, + оо). 
4. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу. 
5 Унаиб. = 0 (достигается при х = 0), унаим не существует. 
6. Функция непрерывна на луче [0, + од). 
7. Область значений функции — луч (- оо, 0]. 
8. Функция выпукла вниз.

Пример 5. Построить и прочитать график функции 
 y =f(x), где

12-06-63.jpg

Решение. Сначала построим график функции у = 12-06-53.jpg и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 89). Затем построим гиперболу 12-06-64.jpg и выделим ее часть на открытом луче (4, + оо) (рис. 90). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 91). 
Перечислим свойства функции у — f(x), т.е. прочитаем график.

12-06-65.jpg

1. Область определения функции — луч [0, + °о). 
2. у = 0 при x = 0; у > 0 при х > 0. 
3. Функция возрастает на отрезке [0, 4] и убывает на луче [4, + оо). 
4. Функция ограничена и снизу и сверху. 
5 Унаим. = 0 (достигается при х = 0); унаи6 = 2 (достигается при х = 4). 
6. Функция непрерывна в заданной области определения. 
7. Область значений функции — отрезок [0, 2]. 
8. Функция выпукла вверх на отрезке [0, 4] и выпукла вниз на луче [4, + оо). 


Лекция добавлена 24.08.2012 в 10:32:21