Доказательство основной теоремы арифметики (о разложении на простые множители)

 

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число n > 1 представляется в виде n = p1 · p2 · p3 · p4 · p5 · .... · pk , где p1 , ...., pk — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида: если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x · y, то p делит x илиy.

Докажем существование такого разложения. Докажем существование от противного. Предположим, существуют числа >1, для которых такого разложения не существует. Тогда пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа себя. Если nсоставное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Поскольку они меньше n, то каждое из них, согласно условию выше, можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Докажем единственность . Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n / p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида), что противоречит их равенству.


Лекция добавлена 02.08.2012 в 01:57:04