Признаки делимости на 2, на 5 и на 10

Рассмотрим основные признаки делимости чисел на 2, 5 и 10. Начнем с десятки

Признак делимости на десять

  • Если натуральное число оканчивается цифрой нуль, то это число делится без остатка на 10. 

Для того чтобы в таком случае получить частное от деления, необходимо просто отбросить один нуль.

  • Например, 350 делится без остатка на 10. Результатом деления будет 35.

А теперь попробуем другое число, например, 357. При делении на 10 получим неполное частное 35 и остаток 7.  То есть, в качестве остатка будет цифра, записанная на последнем месте в числе.

Если же в записи натурального числа, на последнем месте стоит другая цифра, то оно не делится без остатка на 10. Остатком от деления в таком случае будет последняя цифра.

Заметим, что число 10 является произведением чисел 2 и 5. Другими словами десятка делится на 2 и на 5 без остатка. А следовательно, любое число, которое делится без остатка на 10 делится и на 2, и на 5.  А учитывая предыдущий признак, получаем, что любое число, в записи котоого на последнем месте стоит нуль, делится на 2 и на 5.

  • Например, 70 = 7*10 = 7*(2*5) = (7*2)*5=14*5, то есть 70:5=14

Аналогично для двойки,

  • 70=7*10 = 7*(2*5)=(7*5)*2=35*2, то есть 70:2=35.

Признаки делимости на 5

Заметим так же тот факт, что любое многозначное натуральное число можно представить в виде полных десятков и единиц. Например, 23=20+3, или 1253= 1250+3. 

Так как число полных десятков всегда оканчивается нулем, то эта часть числа всегда делится на 5. Следовательно, делимость числа на 5 зависит от числа, которое записано на последнем месте. Т.е. от числа единиц. Там могут быть цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9, из этих чисел, только 5 делится на 5 без остатка. Следовательно, можем сформулировать признак делимости числа на 5.

  • Если запись натурального числа оканчивается на 5 или на 0, то это число делится на 5 без остатка. Если же запись числа оканчивается на другую цифру, то это число не делится на 5 без остатка.

Например, число 355 делится на 5 без остатка, и число 350 тоже делится на 5 без остатка, а числа 654 и 348 не делятся без остатка на 5.

Признаки делимости на 2

Аналогичными рассуждениями можно получить признак делимости числа на 2.

  • Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится на 2 без остатка. Если же запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится на 2 без остатка.

Четными называются числа, не имеют остатка при делении на 2. Из однозначных, цифры 0,2,4,6,8 являются четными. Цифры 1,3,5,7,9 – являются нечетными. Нечетные числа при делении на 2, дают остаток 1.

Например, числа 4,18, 26, 4352, четные, а числа 123, 3, 987, 545 – нечетные.


Лекция добавлена 07.11.2012 в 04:28:55