Понятие о производной

Рассмотрим следующую задачу: пусть некоторая точка движется по прямой непрерывно и плавно. В некоторый момент времени t координата точки х равна х(t). Для определенности можем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку дороги.

Задача заключается в следующем: по известной зависимости x(t) найти скорость, с которой автомобиль движется в конкретный момент времени t, другими словами - найти мгновенную скорость машины в момент времени t.

Решение задачи - найти производную?

Решить такую задачу, когда зависимость x(t) имеет линейный характер, легко. В любой момент времени, скорость будет равна отношению пройденного пути к времени, за которое этот путь пройден. Если же движение будет неравномерное, то задача усложняется.

Очевидно, что в любой момент времени машина движется с какой-то определенной скоростью. Средняя скорость за промежуток времени будет вычисляться по формуле: V = ∆x/∆t. Логично предположить, что если этот промежуток времени сделать очень маленьким, то за этот промежуток времени значение скорости почти не поменяется. Тогда средняя скорость на этом промежутке будет отличаться от значения мгновенной скорости очень слабо.

То есть для решения задачи нам необходимо найти среднюю скорость на очень маленьком промежутке времени, то есть ∆t практически равно нулю.

Рассмотрим конкретный пример: средняя скорость тела брошенного вверх Vср = V0 – g*t0 – (g*∆t)/2. Теперь посмотрим, что будет с этой формулой если мы начнем уменьшать значение ∆t до нуля, то есть ∆t стремится к нулю.

Очевидно, что при стремлении ∆t к нулю, слагаемые, в которых ∆t участвует, как сомножитель, тоже будут стремиться к нулю, то есть – (g*∆t)/2 практически будет очень маленьким и его можно не учитывать. 

Остается следующая формула: Vср = V0 – g*t0. Это и будет формула мгновенной скорости в момент времени t0: скорость изменения функции f в точке t0. Вместо этого в математике говорят, что мы нашли производную функции f в точке t0.

Определение производной

Дадим общее определение производной. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится отношение приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x при стремлении ∆х к нулю.

Производная функции f в точке х0 обозначается следующим образом - f’(x0). Таким образом, по определению f’= ∆f/∆x. Используя формулы приращений, можем записать f’(x0) = ∆f/∆x = (f(x0 + ∆x) – f(x0))/(∆x).


Лекция добавлена 07.11.2012 в 06:14:42