Системы счисления. Понятие

 

 


На заре человечества, когда появился кроманьонец (около 40-50 тыс. лет назад), в его распоряжение сама природа предоставила очень удобное средство счета. Именно так сегодня родители учат считать своих детей. Они используют для того, чтобы ребенок выучил счет – его собственные пальцы. Пальцы на руках – это и есть первое счетное «устройство». Этому существует великое множество подтверждений. Во многих языках названия числительных указывают на то, что для счета первоначально использовались именно пальцы на руках. Например, в древней Руси единицы назывались «перст» (или как мы говорим сегодня палец), десятки «составами», а числа, получавшиеся объединением перстов и составов «сочинениями».

Системой счисления называется способ представления и изображения чисел с использованием строго ограниченного набора символов, каждый из которых имеет определенные количественные значения. Числа в системах счисления представляются с помощью некоторого набора знаков – цифр, а их количество зависит от используемой системы.

ПРИМЕЧАНИЕ

Используемая нами десятичная система счисления имеет определенное написание цифр. Сами цифры, а точнее их изображение появилось в Индии, а пришло в Европу, благодаря арабским купцам. Слово «цифра» происходит от арабского «сифр». Поэтому мы и называем используемые нами цифры «арабскими». В XIII в. этими цифрами стали пользоваться жители средневековой Италии, которые позаимствовали их у флорентийских купцов, торговавших с арабами. А уже к XV в. использование так называемых арабских цифр стало повсеместным [3].

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционной системе счисления каждая цифра из набора изображающего число имеет количественное значение в соответствии с занимаемой ею позицией. В непозиционной1 системе счисления цифры не изменяют своего количественного значения при перемене места внутри числа. Позиция цифры внутри изображаемого числа называется разрядом. Рассмотрим в общем виде представление некоторого числа в произвольной системе счисления:

 (2.1)

 (2.2)

В выражение (2.1) N – количество цифр, используемое в данной системе счисления для представления чисел, эта величина называется основанием системы счисленияCN – число, представляемое в системе счисления с основанием Nl – количество цифр в целой части числа; m - количество цифр в дробной части числа. Дробная часть от целой отделяется точкой. Выражение (2.2) представляет собой ряд, в который раскладывается число CN..

Пример 2.1. Представление десятичного числа в соответствии с (2.2)



В данном примере количество разрядов равно 6. Единица каждого разряда в десять раз больше единицы предыдущего разряда. Приведенный пример иллюстрирует, что десятичная система счисления является позиционной, т.к. имеются три цифры «четыре», которые расположены в разных разрядах числа. Все три четверки имеют различный вес, первая указывает сотни, вторая единицы, а третья сотые доли числа.

ПРИМЕЧАНИЕ

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Сейчас мы называем ее просто «римской» и применяем для записи дат, например, «XV век».

Для представления чисел в ЭВМ применяется двоичная2 система счисления (используется две цифры «1» и «0»). Каждый следующий разряд больше предыдущего в два раза. Широкое распространение также получили восьмеричная (используются цифры 0,1,…,7) и шестнадцатеричная (используются цифры 0,1,…,9,A,B,C,D,E,F3) системы счисления. 

Пример 2.2. Представление десятичного числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления







Как следует из примера 2.2 запись чисел в восьмеричной системе счисления значительно компактнее аналогичной записи в двоичной системе, а шестнадцатеричная система счисления требует для представления указанного числа еще меньше цифр. В таблицу 2.1 сведены все четыре рассмотренные системы счисления, как для целых, так и для дробных чисел [2].

Таблица 2.1. Представление дробных и целых чисел в различных системах счисления



Целые числа

N=10

N=2

N=8

N=16


 

N=10

N=2

N=8

N=16

8

1000

10

8

0

000

0

0

9

1001

11

9

1

001

1

1

10

1010

12

A

2

010

2

2

11

1011

13

B

3

011

3

3

12

1100

14

C

4

100

4

4

13

1101

15

D

5

101

5

5

14

1110

16

E

6

110

6

6

15

1111

17

F

7

111

7

7

Дробные числа

N=10

N=2

N=8

N=16


 

N=10

N=2

N=8

N=16

0.125

0.001

0.01

0.2

0.5

0.1

0.4

0.8

0.0625

0.0001

004.

0.1

0.25

0.01

0.2

0.4

 


Лекция добавлена 28.02.2013 в 03:20:35