Представление чисел с фиксированной и плавающей точкой

 

 


В ЭВМ используется два вида представления чисел: с фиксированной точкой или естественная форма и с плавающей точкой или нормальная форма. Точка определяет границу раздела целой и дробной частей числа. Любая программа в ЭВМ реализуется в виде простых операций, выполняемых центральным процессором (ЦП). Одной из важнейших характеристик любого процессора является его разрядность, т.е. количество разрядов, используемых для представления чисел. Эта величина в силу определенных причин ограничена6. При использовании формы с фиксированной точкой для изображения некоторого числа, точка имеет строго определенное место для всех чисел.

Пример 2.8. Естественная форма десятичного числа

    

Каждое из чисел записанных в примере 2.8 имеет конечное число разрядов - 10. Пять разрядов отведены для целой части (до точки) и столько же для дробной (после точки).

ПРИМЕЧАНИЕ

Вычислительная машина, которая использовала форму представления чисел с фиксированной точкой, является «Минск-1»(точнее ее первые модели).

В ЭВМ у двоичных чисел с фиксированной точкой для точки выделяют место либо в начале (дробное число), либо в конце (целое число). Для изображения знака числа отводится специальный знаковый разряд в начале числа, в который записывает 1, если число отрицательное и 0, если число положительное.

Другой формой представления чисел в ЭВМ является нормальная форма (числа с плавающей точкой). Для организации научно-технических расчетов при моделировании, поиске экстремумов и т.п. обрабатываемые числа имеют очень большой диапазон измерений, т.е. существует необходимость в перемещении точкой для более эффективного использования имеющегося количества разрядов. В современных процессорах (CPU – Central Processing Unit) имеются дополнительные блоки выполнения арифметических операций и вычисления основных математических функций, их еще называют блоками чисел с плавающей точкой FPU (Floating Point Unit) или NPX (Numeric Processor eXtension – числовое расширение процессора). Ранее в предыдущих процессорах этот блок устанавливался дополнительно в виде математического сопроцессора. Сопроцессор поддерживает 16-, 32- и 64-битные целые числа, 32-, 64-, 80-битные числа с плавающей точкой (FP) и 18-значные числа в двоично-десятичном формате (BCD) [5].

Для представления чисел в форме с плавающей точкой в ЭВМ используется две группы цифр - мантисса M и порядок P7. В общем виде это представление может быть выражено, как:

 (2.4)

где С – представляемое число, а N – основание системы счисления.

Пример 2.9. Представление десятичных чисел с плавающей точкой

Числа, указанные в примере 2.8 могут быть представлены в следующем виде.

   

Пример показывает, что представление с помощью мантиссы и порядка, позволяет отображать огромные диапазоны чисел. Ответ на вопрос, какой же диапазон значащих чисел D можно отобразить с помощью m разрядной мантиссы и p разрядного порядка в системе счисления с основанием N дает следующее выражение8:

 (2.5)

Очень красноречивым является пример, приведенный в [4], где при N=2m=22 и p=10 диапазон чисел примерно простирается от 10-300 до 10300. Для сравнения количество секунд, которые прошли с момента образования планеты Земля, составляет всего около 1018 секунд.

ПРИМЕЧАНИЕ

Если , то старший разряд представляемого числа отличен от нуля, такое число называется нормализованным. Именно нормализованные числа хранятся в ЭВМ. В примере 2.9 все числа, кроме второго – нормализованные.

При рассмотрении систем счисления в п. 2.1 следовало бы привести еще и двоично-десятичную систему счисления (BCD). Однако в большинстве учебников ее выделяют в качестве обособленной формы представления информации в ЭВМ, поэтому мы сделаем тоже самое. Особенность BCD состоит в том, что десятичные числа записываются двоичными тетрадами. При обработке больших объемов информации, например, при анализе статистических и экономических данных в ЭВМ приходиться производить огромное количество преобразований из двоичного представления в десятичное и обратно. Для этой цели, как уже отмечалось, применяются специальные блоки FPU или NPX. Точка в BCD представлении числа, обычно имеет фиксированное место. Значение знака числа отмечается двоичным кодом (тетрадой), отличным от используемых в BCD. Например, знак «+» имеет значение тетрады «1100», а «-» - «1101».

Пример 2.10. Двоично-десятичное представление чисел.

 


Лекция добавлена 28.02.2013 в 03:21:25