Преобразование подобия

 

Сходство фигур

Преобразование подобия

Еще в Древней Греции возникло учение о подобных фигуры. В частности, в книге «Начала» Евклид пишет о преобразовании подобия.

Преобразованием подобия, или сходством называется такое преобразование одной фигуры в другую, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это число называется коэффициентом подобия. Коэффициент подобия обозначается латинской буквой k и является положительным числом.

Если коэффициент подобия равен единице, то преобразование является движением;

если коэффициент подобия меньше единицы, то расстояние между точками уменьшается: если коэффициент подобия больше единицы, то расстояние между точками увеличивается.

Преобразование подобия имеет следующие свойства:

- Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки;

- Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямой;

- Преобразование подобия переводит параллельные прямые в параллельные прямые.


Две фигуры называются подобными, если одну из них можно получить из другого с помощью преобразования подобия. Сходство фигур означает, что независимо от размеров и положения на плоскости эти фигуры имеют одинаковую форму.

Все круги подобны фигурами, все квадраты подобны фигурами.

Если первая фигура подобная второй фигуре с коэффициентом k, то вторая фигура тоже подобная первой фигуре, но с коэффициентом, обратным числу k, - 1 / k. Одним из преобразований подобия являются гомотетия.

Если две подобные фигуры размещены так, что все полупрямые, проведенные с некоторой точки через точки одной фигуры, проходят через соответствующие точки второй фигуры, то это гомотетия.

Гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k называется такое преобразование одной фигуры в другую, при котором каждая точка Х первой фигуры переходит в точку Х 'второй фигуры так, что точка Х' лежит на луче, выходящий из точки О и проходит через точку Х, а расстояние между точкой О и точкой Х 'равна расстоянию между точкой О и точкой Х, умноженной на коэффициент гомотетии k.

Практические советы.

Чтобы построить отрезок, гомотетичний данном отрезке с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом гомотетии, проведите полупрямые с началом в центре гомотетии, которые проходят через концы отрезка. На полупрямой от их начала отложите отрезки, длины которых равны соответственно длинам отрезков, соединяющих центр гомотетии с концами заданного отрезка, умноженных на коэффициент гомотетии, и соединяют точки, полученные на полупрямой.


Лекция добавлена 27.02.2014 в 17:15:32