Основные понятия тригонометрии

 

 

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус — это  поворот луча на 1/360 часть  одного полного оборота.  Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит  из 60 минут;  одна минута, соответственно, из 60 секунд.
Радианная  мера. Радиан есть центральный угол,  у которого длина  дуги и радиус равны. Итак, радианная мера измерения угла есть отношение  длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Следуя этой формуле, длину окружности  C и ее радиус r можно выразить следующим образом.
Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана.
 
Таблица значений наиболее  часто встречающихся  углов в градусах и радианах:


Тригонометрические   функции   острого  угла есть  отношения различных пар сторон  прямоугольного треугольника (обозначим a — противолежащий катет,  b — прилежащий катет, с — гипоте-  нуза):
1)  синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinA = a / c;
2)  косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cosA = b / c;
3)  тангенс  — отношение  противолежащего катета к прилежаще- му: tgA = a / b;
4)  котангенс — отношение  прилежащего катета  к противолежа- щему: ctgA = b / a;
5)  секанс — отношение гипотенузы  к прилежащему катету: secA = c / b;
6)  косеканс  — отношение  гипотенузы  к противолежащему кате- ту: sinA = c / a;

Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических  функций.
    
 

Углы 0° и 90°, строго  говоря, не являются острыми в прямоу- гольном треугольнике, однако при расширении понятия тригоно-  метрических функций эти углы также рассматриваются. Символ в таблице означает, что абсолютное значение функции неогра- ниченно возрастает, если угол приближается к указанному значе-
нию.

Основные тригонометрические тождества


Формулы приведения
Эти формулы позволяют:
1)  найти   численные   значения   тригонометрических    функций углов, больших чем 90°;
2)  выполнить преобразования, приводящие к более  простым  выражениям;
3)   избавиться от отрицательных углов и углов, больших чем 360°.


Формулы сложения и вычитания


Формулы двойных, тройных и половинных углов


Преобразование тригонометрических выражений в произведение
 
 

Формулы преобразований произведения в сумму

 

Следующие  формулы  называются   универсальной   подстановкой:
 

Обратные тригонометрические функции
Арксинусом (арккосинусом)  а, a   [–1,1] называется угол a, удовлетворяющий следующим двум условиям:
1)  a   [– / 2;  / 2] ( a   [0;]);
2)  sina = a.(cosa = a).
Арктангенсом (арккотангенсом)  а, a   R, называется угол a, удо-
влетворяющий следующим двум условиям:
1)  a   (—/2; /2) (a    (0;));
2)  tga = a.(ctga = a).
Тогда y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.


 
 
 
Тригонометрические уравнения
Решением простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a является:
где k = 0, ±1,  ±2,  ±3,  .. принадлежит множеству целых чисел; число а — множеству действительных чисел.
Уравнения sin x = a и cos x = a имеют решения при |a| < 1, т. е. для a   [–1; 1]. Если же |a| > 1, то эти уравнения решений не имеют.
Уравнения tgx = a и ctgx = a имеют решения для любого а.
 

Основные соотношения между элементами треугольника.
Введем обозначения:
a, b, c — стороны треугольника; A, B, C — углы; — полупериметр; h — высота; S — площадь; R — радиус описанного  круга; r — радиус вписанного круга.
Теорема косинусов:  a2  = b2  + c2  — 2b.cosA.

Теорема синусов:
 

Теорема тангенсов:
 

Формулы площади, формула Герона:


Радиусы  описанного и вписанного кругов:

 


Лекция добавлена 25.02.2014 в 21:59:05