Основные понятия геометрии

 

Геометрия — это наука, изучающая пространственные отношения и формы предметов.
Евклидова  геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида.
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых  геометрий, геометрическая теория, основанная  на тех же основных  посылах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых,  которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Прямая  линия, ограниченная  с одного конца  и неограниченная с другого, называется лучом.
Часть  прямой,  ограниченная  с  двух сторон,  называется  отрезком.
Угол — это геометрическая фигура,  образованная двумя луча- ми (стороны угла),  исходящими из одной точки  (вершина угла). Применяются  две единицы  измерения углов: радиан и  градус. Угол в 90° называется прямым; угол, меньший чем 90°, называется острым; угол, больший чем 90°, называется тупым.
Смежные углы — это углы, имеющие общую вершину и общую сторону;  две другие стороны  являются  продолжениями одна другой.  Сумма  смежных  углов равна 180°. Вертикальные углы — это два угла с общей вершиной, у которых  стороны  одного являются продолжениями сторон другого.
Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Все прямые,   параллельные одной  прямой,   параллельны между  собой. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой,  и обратно,  прямая,  перпендикулярная к  одной из параллельных прямых,  перпендикулярна к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними. При пересечении двух параллельных прямых  третьей прямой  образуются  восемь  углов, которые  попарно  называются:  соответственные  углы (эти  углы попарно  равны);  внутренние накрест  лежащие углы (они попарно равны); внешние накрест лежащие углы (они попарно равны); внутренние односторонние  углы (их сумма равна 180°); внешние односторонние углы (их сумма равна 180°).

Теорема Фалеса.  При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные  отрезки.
Аксиомы геометрии.  Аксиома  принадлежности:  через  любые две точки   на  плоскости  можно  провести  прямую   и  притом только одну. Аксиома  порядка:  среди любых трех  точек,  лежащих  на  прямой,  есть  не  более   одной  точки,  лежащей  между двух других.
Aксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов: если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.  Аксиома параллельных  прямых: через любую точку,  лежа- щую вне прямой,  можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда): для любых двух от- резков AB  и CD существует  конечный набор точек  A1,  A2,  …, An,  лежащих на прямой AB, таких что отрезки AA1, A1A2, …, An-1An кон-  груэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An.

Плоская фигура,  образованная замкнутой  цепочкой  отрезков, называется многоугольником.
В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником,  четырехугольником,  пятиугольником,   шестиугольником и т. д. Сумма  длин называется  периметром и обозна- чается p.
Если все диагонали  лежат внутри многоугольника, он называ- ется выпуклым. Сумма  внутренних  углов выпуклого  многоуголь- ника равна 180°*(n—2), где n  — число углов (или сторон)  многоугольника.
Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами (или тре- мя углами). Если  все три угла острые,  то это  остроугольный треугольник. Если один из углов прямой,  то это прямоугольный треугольник; стороны,  образующие прямой угол, называются катетами; сторона,  противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник. Треугольник  равнобедренный,  если две его стороны  равны. Треу- гольник равносторонний, если все его стороны равны.
 
В прямоугольном треугольнике  справедливы  следующие  соотношения:


Площадь прямоугольного треугольника:



Радиус вписанной окружности:


В произвольном треугольнике:

 

 
В  любой  правильный многоугольник можно  вписать  окруж- ность и около него можно описать окружность:
 
где а — сторона, n — число сторон многоугольника, R — радиус описанной  окружности, r — радиус вписанной  окружности (апо-  фема правильного многоугольника).
Площадь правильного многоугольника:


Длины сторон и диагоналей связаны формулой:


Основные свойства треугольников:
1)  против большей стороны лежит больший угол, и наоборот;
2)  против равных сторон лежат равные углы, и наоборот;
3)  сумма углов треугольника равна 180°;
4)  продолжая одну из сторон  треугольника, получаем внешний угол.  Внешний угол  треугольника равен  сумме  внутренних углов, не смежных с ним;
5)  любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
 
Признаки  равенства  треугольников: треугольники равны,  если равны:
a)  две стороны и угол между ними;
b)  два угла и прилегающая к ним сторона;
c)   три стороны.
Признаки  равенства  прямоугольных треугольников:   два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1)  равны их катеты;
2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3)  гипотенуза  и острый  угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4)  катет  и прилежащий острый  угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5)  катет  и  противолежащий  острый   угол одного  треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Высота треугольника  —  это  перпендикуляр,  опущенный  из любой вершины  на  противоположную сторону  (или ее  продолжение).  Эта  сторона  называется  основанием  треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются  в одной точке,  называемой  ортоцентром  треугольника.  Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр  тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Формула для высоты треугольника:


Медиана — это отрезок,  соединяющий  любую вершину треу-гольника с серединой противоположной стороны.  Три  медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта  точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
 
Биссектриса — это  отрезок  биссектрисы  угла от вершины  до точки  пересечения  с  противоположной  стороной.   Три  биссек- трисы треугольника пересекаются  в одной точке,  всегда лежащей внутри  треугольника и являющейся центром  вписанного  круга. Биссектриса  делит  противоположную сторону  на части,  пропор- циональные прилегающим сторонам.
Формула для биссектрисы треугольника:

Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются  в одной точке, являющейся центром описанного  круга.  В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри  треугольника; в тупоугольном — снаружи;  в прямоугольном — в середине гипотенузы.  Ортоцентр, центр тяжести, центр  описанного   и центр  вписанного  круга  совпадают  только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат дли- ны гипотенузы  равен сумме квадратов длин катетов: c2 = a2 + b2.
В   общем  случае  (для   произвольного треугольника)   имеем: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, где C — угол между сторонами a и b.
Четырехугольник — фигура,  образованная  четырьмя  точками (вершинами), никакие три из которых  не лежат на одной прямой, и четырьмя  последовательно соединяющими их отрезками (сторонами), которые не должны пересекаться.
Параллелограмм  —  это  четырехугольник,  противоположные стороны  которого  попарно  параллельны. Любые  две противоположные стороны  параллелограмма называются  его основаниями, а расстояние между ними — высотой.
Свойства параллелограмма:
1)  противоположные стороны параллелограмма равны;
2)  противоположные углы параллелограмма равны;
3)  диагонали   параллелограмма  делятся в точке  их  пересечения пополам;
4)  сумма  квадратов  диагоналей параллелограмма   равна  сумме квадратов его четырех сторон;
 
Площадь параллелограмма:


Радиус вписанной в параллелограмм окружности:


Прямоугольник — это параллелограмм, все углы которого равны 90°.

Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются  одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали  прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (по теореме Пифагора).
Площадь прямоугольника:
S = ab.
Диаметр прямоугольника:


Радиус  описанной около прямоугольника окружности:


Ромбом называется  параллелограмм, у которого  все  стороны равны.  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и  делят их углы пополам.
Площадь  ромба выражается через диагонали:


Квадрат — это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами.  Квадрат  является частным  случаем  прямоугольника и ромба одновременно, следовательно, он обладает  всеми их вы- шеперечисленными  свойствами.
Площадь квадрата:

Радиус  описанной около квадрата  окружности:


Радиус  вписанной в квадрат окружности:


Диагональ квадрата:


Трапеция — это  четырехугольник, у которого  две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называют-  ся основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Расстояние  между основаниями есть высота. Отрезок, соединяющий средние точки  боковых сторон,  называется средней линией трапеции. Средняя  линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция  с равными боковыми сторонами на- зывается  равнобочной трапецией.  В  равнобочной  трапеции углы при каждом основании равны.
Площадь трапеции:


где a и b — основания, h — высота.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из свойства трапеции, так  как  треугольник  может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из ее оснований превращается в точку.
Подобие плоских фигур.  Если изменить все размеры плоской фигуры  одно и то же число раз (отношение  подобия),  то старая и новая фигуры  называются  подобными. Два многоугольника подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны.
Признаки  подобия треугольников.  Два треугольника  подобны, если:
1)  все их соответственные углы равны (достаточно  двух углов);
2)  все их стороны пропорциональны;
3)  две стороны  одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключенные между  этими сторонами, равны.
 
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных  линий (например, сторон,  диаметров).
Геометрическое место точек — это множество всех точек,  удо- влетворяющих определенным заданным условиям.
Окружность — это геометрическое  место точек  на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок,  соединяющий  центр  окружности  с какой-либо её точкой,  называется радиусом  и обозначается  —  r. Часть  плоскости, ограниченная  окружностью, называется  кругом. Часть  окружности называется дугой. Прямая, проходящая через две точки окружности,  называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности — хордой. Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром и обозначается d. Диаметр — это наибольшая хорда, по величине равная двум радиусам: d = 2r.

где а — действительная, b — мнимая полуось.

Уравнение плоскости в пространстве:
Ax + By + Cz + D = 0,
где x,  y, z — прямоугольные координаты  переменной  точки плоскости, A, B, C — постоянные числа.
Прямая, проходящая  через точку  окружности  перпендикуляр- но  радиусу,  проведенному  в эту  точку,  называется  касательной.
 
При этом данная точка называется точкой касания.
Свойства  касательной:
1)  касательная к окружности  перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания;
2)  из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны.
Сегмент — это часть круга,  ограниченная  дугой и соответствующей хордой. Длина перпендикуляра, проведенного из середины хорды до пересечения с дугой, называется высотой сегмента.
Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам этой  дуги.
Углы в круге.  Центральный угол — угол, образованный  двумя радиусами. Вписанный угол — это угол, образованный двумя хордами, проведенными из их одной общей точки. Описанный угол — угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки.
Эта  формула является основой  для определения  радианного измерения углов. Радианная  мера любого угла — это отношение длины дуги, проведенной  произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к ее радиусу.
Соотношения между элементами круга
Вписанный угол  равен половине центрального угла, опирающегося  на ту же дугу. Следовательно, все вписанные  углы, опирающиеся  на одну и ту  же дугу,  равны. А  так  как  центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга, то любой вписанный  угол измеряется половиной дуги, на которую  он опирается.
Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг, прямые.
Угол, образованный  двумя хордами, измеряется  полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.
Угол, образованный двумя секущими,  измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Угол, образованный  касательной и хордой, измеряется  половиной дуги, заключенной внутри него.
Угол, образованный касательной и секущей,  измеряется полуразностью  дуг, заключенных между его сторонами.
Описанный угол, образованный двумя касательными,  измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
Произведения отрезков хорд, на которые  они делятся точкой пересечения, равны.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Хорда,  перпендикулярная диаметру, делится в их точке  пересечения пополам.
Вписанным в круг  называется  многоугольник, вершины которого расположены на окружности.  Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого  являются касательными к  окружности.   Соответственно, окружность,  проходящая   через вершины многоугольника,  называется описанной  около многоугольника; окружность, для которой стороны  многоугольника являются  касательными, называется  вписанной  в многоугольник. Для  произвольного  многоугольника невозможно вписать  в него и описать около него окружность. Для треугольника эта возмож- ность существует всегда.
В  четырехугольник можно  вписать  окружность,  если  суммы его противоположных сторон  равны. Для параллелограммов  это возможно  только для ромба (квадрата).  Центр  вписанного  круга расположен в точке  пересечения диагоналей. Около  четырехугольника можно описать круг,  если сумма его противоположных углов равна 180°. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного  круга лежит в точ-  ке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная.  Правильный  многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами.
Правильный  четырехугольник  —  это   квадрат;   правильный треугольник — равносторонний  треугольник.  Каждый угол  пра- вильного многоугольника равен 180°( n — 2 )/n , где n — число его углов. Внутри  правильного  многоугольника существует  точка  O, равноудаленная от всех его вершин, которая называется центром правильного многоугольника. Центр  правильного многоугольника также равноудален от всех его сторон.  В правильный многоу- гольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга  — это  радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного  круга — его апофема.

Основные аксиомы стереометрии
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку,  то они пересекаются  по прямой, проходящей через эту точку.
Если две различные прямые имеют общую точку,  то через них можно провести одну и только одну плоскость.
Через три точки,  лежащие на одной прямой,  можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую  проходят все плоскости пучка,  называется  осью пучка. Через любую прямую и точку,  лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость.  Через  две прямые  не всегда можно  провести плоскость, тогда эти прямые называются скрещивающимися.
Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но  они не являются параллельными  прямыми,  так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми  состоит  в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся — нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость. Расстояние  между двумя скрещивающимися прямыми есть  длина   отрезка,  соединяющего  ближайшие точки,  расположенные на скрещивающихся прямых. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются  (в одной точке),  либо нет. В последнем случае говорят, что прямая и плоскость параллельны друг другу.
Перпендикуляром, опущенным из точки  на  плоскость,  называется отрезок,  соединяющий  данную  точку  с точкой  плоскости и ежащей на прямой, перпендикулярной плоскости.
Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проекцией  отрезка на плоскость P является отрезок,  концы  которого  являются проекциями точек данного отрезка.
Двугранным углом называется фигура,  образованная двумя по- луплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоско- сти называются  гранями, а ограничивающая  их прямая — ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная к ребру, дает в ее пересечении с полуплоскостями угол называемый линейным углом двугранного угла.  Двугранный угол измеряется своим линейным углом.
 
Многогранный угол. Если через точку провести множество пло- скостей, которые последовательно пересекаются  друг с другом по прямым,  то получим фигуру,  называемую  многогранным углом. Плоскости, образующие многогранный угол называются  его гранями; прямые,  по которым последовательно пересекаются  грани называются  ребрами многогранного угла.  Минимальное количе- ство граней многогранного угла равно трем.
Параллельные  плоскости вырезают на ребрах  многогранного угла, пропорциональные отрезки  и образуют  подобные  многоугольники.
Признаки  параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая  и плоскость  перпендикулярны одной  и той  же прямой, то они параллельны.
Признаки параллельности плоскостей.
Если две пересекающиеся  прямые  одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся  прямым другой плоскости,  то эти плоскости параллельны.
Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признаки  перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Прямая, пересекающая  плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.
Признаки параллельности прямых в пространстве.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.
 
Уравнение  прямой на плоскости  в прямоугольной системе координат xy:
ax + bx + c = 0, где a,  b, c — постоянные числа,  x и y —координаты  переменной точки M(x,y) на прямой.
 
Признаки  параллельности прямых:


Признак  перпендикулярности плоскостей:  если плоскость  проходит через прямую,  перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный  общий перпендикуляр.
Многогранник — это тело, граница которого  состоит из кусков плоскостей  (многоугольников). Эти  многоугольники  называются  гранями,  их стороны  — ребрами, их вершины  —  вершинами многогранника. Отрезки,  соединяющие две вершины и не лежащие на  одной  грани,  называются  диагоналями  многогранника. Многогранник — выпуклый, если все его диагонали  расположены внутри него.
Куб — объемная фигура с шестью  равными гранями.
Объем и площадь поверхности куба:

 
Призмой называется многогранник, две грани которого  (основания призмы)  — равные многоугольники с соответственно  параллельными сторонами, а остальные грани — параллелограммы.
Отрезки,  соединяющие соответствующие  вершины,  называются боковыми ребрами.  Высота  призмы — это  любой  перпендикуляр, опущенный  из  любой  точки   основания  на  плоскость   другого основания.  В  зависимости от формы  многоугольника, лежащего в основании,  призма может  быть,  соответственно  треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Если  бо- ковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае это наклон- ная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то  такая  призма  также  называется  правильной. Диагональю призмы называется  отрезок,  соединяющий  две вер- шины призмы, не принадлежащие одной грани.
Площадь  боковой поверхности прямой призмы:
Sбок = P.H,
где P — периметр основания.
Параллелепипед  — это  призма,  основания  которой  параллелограммы. Таким  образом, параллелепипед имеет шесть  граней, и  все они — параллелограммы.  Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда  четыре  диагонали; они  все пересекаются  в одной  точке  и делятся в ней  пополам.
Если четыре  боковые грани  параллелепипеда —  прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого  все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его ребра a, b, c связаны  соотношением  d2  = a2   + b2  + c2. Прямоугольный параллелепипед, все грани  которого  квадраты,  называется  кубом. Все ребра куба равны.
Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
V = a.b.c, S
полн = 2(ab + ac + bc).
 
Пирамида — это многогранник, у которого  одна грань  (основание   пирамиды)   является   произвольным   многоугольником, а  остальные грани (боковые грани) — треугольники с общей вершиной,  называемой вершиной  пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть, соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Треугольная пирамида является тетраэдром, четырехугольная — пятигранником и т. д. Пирамида называется правильной, если в   основании лежит правильный многоугольник, а ее высота падает в центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.
 
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключенное между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними — высотой. Усечен- ная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, — правильная. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобочные трапеции.

Площадь  боковой поверхности правильной пирамиды:


где P — периметр основания;  h — высота боковой грани (апофема правильной пирамиды).

Объем усеченной пирамиды:


Площадь  боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:


где P и P' — периметры оснований; h — высота  боковой  грани  (апофема  правильной  усеченной пирамиды).

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой, сохраняющей свое направление и пересекающейся с заданной линией (кривой). Эта линия называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими цилиндрической поверхности.
Цилиндром называется тело, ограниченное  цилиндрической поверхностью  с замкнутой  направляющей и двумя  параллельными  плоскостями. Части  этих  плоскостей называются  основаниями цилиндра.  Расстояние  между основаниями — высота цилиндра.   Цилиндр прямой,  если его  образующие  перпендикулярны основанию;  в противном случае цилиндр наклонный. Цилиндр называется   круговым,   если  его  основание  —  круг. Если цилиндр  является одновременно и  прямым,  и круговым, то он называется  круглым. Призма  является частным  случаем цилиндра.

Объем,  площади боковой и полной поверхностей цилиндра:

где R — радиус оснований; H — высота цилиндра.
Цилиндрические  сечения  боковой  поверхности  кругового  цилиндра.
Сечения, параллельные основанию, — круги того же радиуса.
Сечения, параллельные  образующим  цилиндра, — пары  параллельных прямых.
Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим, — эллипсы.
Коническая  поверхность  образуется  при  движении прямой, проходящей  все время через неподвижную точку,  и пересекающей  за  данную  линию, называемую  направляющей.  Прямые, соответствующие  различным  положениям прямой  при ее движении,   называются   образующими   конической  поверхности; точка  — ее вершиной. Коническая поверхность  состоит  из двух частей:  одна описывается  лучом, другая  — его продолжением.
Обычно    в  качестве   конической  поверхности   рассматривают одну из её частей.
Конус — это тело, ограниченное  одной из частей  конической поверхности  с замкнутой  направляющей и пересекающей  коническую  поверхность  плоскостью, не проходящей  через вершину.
Часть   этой  плоскости,  расположенной внутри  конической поверхности, называется  основанием конуса.  Перпендикуляр, опущенный  из вершины на основание, называется высотой конуса.
Пирамида является частным  случаем конуса.  Конус называется круговым,  если его основанием является круг.  Прямая, соединяющая  вершину конуса  с центром основания,  называется  осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.
 
Объем,  площади боковой и полной поверхностей конуса:

где r —  радиус; Sосн —  площадь; P — длина  окружности  основания; L — длина  образующей; H — высота конуса.

Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса:


Конические сечения
Сечения  кругового  конуса,   параллельные его  основанию,  — круги.
Сечение,  пересекающее только одну часть кругового  конуса  и не параллельное ни одной его образующей, — эллипс.
Сечение,  пересекающее только одну часть кругового  конуса  и параллельное одной из его образующих, — парабола.
Сечение,  пересекающее  обе части кругового  конуса,  в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей. В частности, если это сечение проходит через ось конуса,  то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конус).
Сферическая поверхность — это геометрическое  место точек  в пространстве, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферической поверхности.
Шар (сфера) — это тело, ограниченное  сферической поверхностью.  Можно получить шар, вращая полукруг (или круг)  вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги.  Наибольший круг лежит в сечении,  проходящем  через центр  шара,  и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших  кругов.  Через  две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.
Объем шара в полтора раза меньше объема описанного  вокруг него цилиндра, а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:
(x—x0)+(y—y )2+ (z—z0)= R2,
здесь x, y, z — координаты переменной точки на сфере;
x0, y0, z0 — координаты центра;
R — радиус сферы.

Объем шара и площадь сферы:


Объем шарового сегмента и площадь сегментной поверхности:

где h — высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового сектора:

где R — радиус шара; h — высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового слоя:

где h — высота; r1 и r2 — радиусы оснований шарового слоя.

Объем и площадь поверхности тора:

где r — радиус круга; R — расстояние от центра круга до оси вращения.
Средняя кривизна поверхности S в точке A0:


Части шара. Часть  шара (сферы), отсекаемая  от него  какой- либо плоскостью, называется  шаровым (сферическим) сегментом. Круг называется основанием шарового сегмента. Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра  круга  до  пересечения со сферической  поверхностью, называется  высотой  шарового сегмента. Часть  сферы,  заключенная между двумя параллельными плоско- стями,   пересекающими  сферическую  поверхность,   называется шаровым  слоем; кривая поверхность  шарового  слоя  называется шаровым поясом (зоной). Расстояние  между основаниями шарового пояса  — его высота.  Часть  шара,  ограниченная  кривой поверхностью  сферического сегмента и конической поверхностью, основанием которой  служит  основание сегмента,  а вершиной — центр шара, называется шаровым сектором.

Симметрия
Зеркальная   симметрия.  Геометрическая  фигура   называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так  что  отрезок  EE’ перпендикулярен плоскости  S  и  делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные  фигуры,  предметы и тела не равны друг  другу  в узком  смысле слова,  они  называются  зеркально равными.
Центральная  симметрия.  Геометрическая  фигура  называется симметричной относительно центра C, если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры,  так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам. Точка C в этом случае называется центром симметрии.
Симметрия  вращения.  Тело обладает   симметрией  вращения, если при повороте на угол 360° / n (n — целое число) вокруг некоторой  прямой  AB  (оси  симметрии) оно  полностью совпадает со своим начальным  положением. При  n=2  имеем осевую симметрию.

Примеры видов симметрии
Шар  (сфера)  обладает  и центральной, и зеркальной и симметрией вращения. Центром  симметрии является центр шара; плоскостью симметрии является плоскость любого большого  круга; осью симметрии — диаметр шара.
Круглый конус обладает  осевой симметрией; ось симметрии — ось конуса.
Прямая  призма обладает  зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна ее основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.
 
Симметрия плоских фигур
Зеркальноосевая симметрия. Если плоская фигура симметрична относительно плоскости (что  возможно, если только  плоская фигура  перпендикулярна этой  плоскости), то  прямая,  по  которой эти плоскости  пересекаются, является осью симметрии второго  порядка  данной  фигуры.  В  этом  случае фигура  называется зеркально-симметричной.
Центральная симметрия.  Если плоская фигура  имеет ось симметрии второго порядка,  перпендикулярную плоскости  фигуры, то точка, в которой пересекаются  прямая и плоскость фигуры,  является центром симметрии.

Примеры симметрии плоских фигур
Параллелограмм имеет только  центральную симметрию.  Его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Ее ось симметрии — перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции.
Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его  ось симметрии — любая из его диагоналей; центр симметрии — точка  их пересечения.

 


Лекция добавлена 25.02.2014 в 21:58:26